Estoy estudiando la prueba de la siguiente propuesta en Hartshorne - Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado de campo. Hay una natural totalmente fieles functor $Var(k)\longrightarrow Sch(k)$ a partir de la categoría de las variedades de más de $k$ a los esquemas de más de $k$.
Primero que hacer algunas declaraciones sobre la generalidad de los espacios topológicos (en la que tengo una duda).
Deje $X$ ser cualquier espacio topológico. Y deje $t(X)$ el conjunto de no-vacío irreductible cerrado subconjuntos de a $X$. Si $Y, Y_1, Y_2, Y_i$ $(i\in I)$ están cerrados los subconjuntos de a $X$, entonces se puede comprobar que $t(Y)\subset t(X)$, $t(Y_1)\cup t(Y_2)=t(Y_1\cup Y_2)$ y $\bigcap_{i\in I}t(Y_i)=t(\bigcap_{i\in I}Y_i\big)$. De esta manera, podemos hacer $t(X)$ topológico, espacio, tomando cerrado subconjuntos de a $t(X)$ a ser subconjuntos de la forma $t(Y)$ donde $Y$ es un subconjunto cerrado de $X$. Además si $f:X_1\longrightarrow X_2$ es de tipo continuo, se obtiene un mapa de $t(f):t(X_1)\longrightarrow t(X_2)$ mediante el envío de $Y\in t(X_1)$$cl(f(Y))$$X_2$. Por lo tanto $t$ es un functor en espacios topológicos.
Además, se define un mapa de $\alpha:X \longrightarrow t(X)$,$\alpha(P)=cl\{P\}$. Vemos que $\alpha$ es continua ya que para cualquier subconjunto cerrado $t(Y)$ de $t(X)$, $\alpha^{-1}(t(Y))=Y$, que es cerrado en $X$. Luego hacer la siguiente declaración :
$\alpha$ induce un bijection entre el conjunto de subconjuntos abiertos de $X$ y el conjunto de subconjuntos abiertos de $t(X)$. Aquí es donde tengo dudas.
Creo que es suficiente para demostrar que no es un bijection entre los correspondientes conjuntos cerrados. Lo que tengo hasta ahora es : si $Y$ es un subconjunto cerrado de $X$,$\alpha^{-1}(t(Y))=Y$, e $\alpha(Y)\subset t(Y)$. También si $Y\neq Z$ cerrado subconjuntos de a $X$, que puedo mostrar que $\alpha(Y)\neq\alpha(Z)$. Lo que más se necesita para demostrar que no es un bijection?
