Tengo que las raíces de $m(x)=x^4-2x^2-1$ plus minus $a=\sqrt{1+\sqrt{2}}$ $b=\sqrt{1-\sqrt{2}}$ que es compleja, debido a $1-\sqrt{2}$ es negativo. Sacando $i$ y dejando $b=ic$ tenemos que $c^{-1}=a$. Creo que la división de campo de la es $\Bbb{Q}(a,b)=\Bbb{Q}(a,ic)$ pero viendo como $c^{-1}=a$ ¿esto significa que puede simplificar la división de campo de a $\Bbb{Q}(a,i)$. En ese caso, el mínimo de poli para $a$ $m(x)$ a que grado 4 y el mínimo de poli para $i$ $\Bbb{Q}(a)$ $x^2+1$ que tiene grado 2. Por tanto, el orden del grupo de Galois que es igual al orden de la división de campo de la es $2\cdot 4=8$. Lista de los automorfismos creo que el grupo de Galois es isomorfo al grupo diedro de la plaza, $D_4$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para identificar el grupo fijo de un subgrupo de orden 4 $D_4$. ¿Cómo debo acerca de esto?
Respuesta
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Estás en lo correcto en decir que la división de campo puede ser escrito $\Bbb{Q}(a,i)$.
Sin embargo, existen tres subgrupos de orden cuatro.
1: El subgrupo cíclico
El automorphism grupo contiene un ciclo de las raíces, es decir, el mapa que lleva a $a$$\frac{i}{a}$$i$%#%, que corresponde al ciclo $-i$$
Ahora el subcampo fijado por el grupo generado por este automorphism tiene un grado más de 2 $$\pmatrix{a & \frac{i}{a} & -a & \frac{-i}{a}}.$ por el principal teorema de la teoría de Galois. Nota además de que $\Bbb{Q}$ es fijado por este mapa, ya que los $ia^2+\frac{i}{a^2}$, e $ia^2\mapsto -i(\frac{i^2}{a^2})=\frac{i}{a^2}$. Sin Embargo $\frac{i}{a^2}\mapsto -i(\frac{a^2}{i^2})=ia^2$$$ia^2+\frac{i}{a^2}=i(1+\sqrt{2})+\frac{i}{1+\sqrt{2}}=i\left(1+\sqrt{2}+\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}\right)=2i\sqrt{2},$\Bbb{Q}$ which has degree two over $$. Thus the fixed field corresponding to this subgroup is $$
2: Klein 4 subgrupo
Otro subgrupo de orden cuatro generado por el automorphism que envía a $\Bbb{Q}\left(ia^2+\frac{i}{a^2}\right)=\Bbb{Q}[2i\sqrt{2}]=\Bbb{Q}[\sqrt{-2}].$ $a$ $-a$ % # % y el automorphism que envía a$i$$i$$a$%#%. Observe que estos dos fix $a$, que tiene orden de 2 $i$, por lo que el campo fijo correspondiente a este subgrupo es $-i$$
3: Otro Klein 4 subgrupo
Finalmente, debe haber un tercer subgrupo de orden cuatro, la cual es generada por la automorphism que envía a $a^2$ $\Bbb{Q}$ $$\Bbb{Q}[a^2]=\Bbb{Q}[1+\sqrt{2}]=\Bbb{Q}[\sqrt{2}].$ % # % y el automorphism que envía a$a$$\frac{i}{a}$$i$%#%. Tenga en cuenta que estos fix $i$, por lo que el campo fijo es $a$.
Tenga en cuenta que esto tiene mucho sentido, los subgrupos de orden 4 corresponden a los campos fijos de grado 2 en el campo base, o cuadráticas de las extensiones. Por lo tanto, esperamos que $-a$$i$, ya que estos dos son claramente contenida en la división de campo. Entonces nos damos cuenta de que desde $i$ es un auténtico campo, y desde $i$ no contiene real irracional elementos, $\Bbb{Q}[i]$ debe ser el último campo (si contamos los subgrupos de $\Bbb{Q}[i]$, se puede comprobar que hay 3 de orden 4). Entonces sólo tiene que coincidir con estos campos a los grupos.
