¿Error aritmético en la Introducción a la Probabilidad de Feller?

Question

En mi copia de Introducción a la probabilidad de William Feller (3ª ed., v.1), la sección I.2(b) comienza así

(b) Colocación aleatoria de r bolas en n celdas. El caso más general de [contar el número de formas de poner] $r$ bolas en $n$ Las células pueden estudiarse de la misma manera, salvo que el número de disposiciones posibles aumenta rápidamente con $r$ y $n$ . Para $r=4$ bolas en $n=3$ células, el espacio de la muestra contiene ya 64 puntos ...

Esta afirmación me parece incorrecta. Creo que hay $3^4 = 81$ formas de poner 4 bolas en 3 casillas; hay que elegir una de las tres casillas para cada una de las cuatro bolas. La respuesta de Feller de 64 parece venir de $4^3$ . Está claro que uno de nosotros ha cometido un error muy simple.

¿Quién tiene razón, yo o Feller? Me cuesta creer que la tercera edición de un libro de texto universalmente respetado contenga un error tan simple, nada menos que en la página 10. Otras posibles explicaciones son:

(1) Mi copia, una edición internacional barata para estudiantes, es propensa a estos errores y las impresiones nacionales no contienen este error.

(2) Estoy entendiendo mal el problema que examinaba Feller.

Answer 1

Es un error. La respuesta debería ser 81. Me preocupó mucho que este libro haya pasado por 3 ediciones y una reimpresión de revisión y todavía tenga este error elemental.

Es fácil ver por qué 81 es el número correcto: La primera bola se puede colocar de 3 maneras. La segunda de tres maneras. Por el principio de rs, las dos primeras bolas pueden colocarse de 3x3 maneras, es decir, de 9 maneras. La tercera bola puede colocarse de 3 maneras. Por el principio rs, el número de maneras de colocar las 3 primeras bolas es 27. La cuarta bola puede colocarse de cualquiera de las tres formas, por lo que el número total de formas en que pueden colocarse las bolas es 81.La aplicación repetida del principio rs nos lleva a 81, no a 64. 64 sería la respuesta correcta si tuviéramos 4 casillas y 3 bolas, ya que 4x4x4 = 64.

Lo que me molesta es que cualquiera que estudie por su cuenta se encontrará con estos problemas con las erratas por todas partes. La primera reacción es siempre: Debo estar equivocado, porque esta gente con sus títulos de la liga de la hiedra no puede estar equivocada.

El secreto culpable es que casi todos los libros de matemáticas tienen errores de este tipo. Antes de comprar cualquier libro, consiga primero la lista de erratas. Si el recuento de errores es demasiado denso, compre otro libro.

Espero que esto ayude.

JLL

Answer 2

Tiene razón, es un error.

Curiosamente, la 2ª edición contiene el mismo error, pero al revés.

Para r = 3 bolas en n = 4 celdas, el espacio muestral contiene ya 81 puntos.

Parece que para la 3ª edición corrigió dos veces este error, dejando el error que usted ha encontrado.

Answer 3

Supongamos que en el muestreo con reemplazo hay cuatro bolas posibles para la celda 1, cuatro bolas posibles para la celda 2 y cuatro bolas posibles para la celda 3. Por tanto, hay 4^3=64 posibilidades. (Suponiendo un muestreo sin reemplazo, hay cuatro bolas posibles para la celda 1, tres para la celda 2 y dos para la celda 3, para un total de 4*3*2=24). Así que parece que el Feller original era correcto.

Answer 4

Tengo que estar de acuerdo con Feller: cada una de las 3 bolas tiene asociado uno de los 4 números de celda. Es decir, 4^3. Aquí están las 64 posibilidades 111, 112, 113, 114, 121, 122, 123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144, 211, 212, 213, 214, 221, 222, 223, 224, 231, 232, 233, 234, 241, 242, 243, 244, 311, 312, 313, 314, 321, 322, 323, 324, 331, 332, 333, 334, 341, 342, 343, 344, 411, 412, 413, 414, 421, 422, 423, 424, 431, 432, 433, 434, 441, 442, 443, 444