Multiplicación de tensor - ¿por qué debemos usar permutaciones?

Question

Estoy leyendo un libro sobre álgebra multilineal, y el autor establece en primer lugar esta fácil isomorfismo: si $V_1,\dots,V_k$ son espacios vectoriales sobre el campo $K$ e si $\sigma\in S_k$, entonces no es un isomorfismo $f_\sigma : V_1\otimes\cdots\otimes V_k\to V_{\sigma(1)}\otimes\cdots \otimes V_{\sigma(k)}.$

Eso está bien, pero entonces, él comienza a definir el tensor de álgebra de un espacio vectorial $V$. Lo hace de la siguiente manera: define a $T^r_s(V)=V^{\otimes r}\otimes (V^\ast)^{\otimes s}$ y, a continuación, se define el tensor de álgebra como

$$T(V)=\bigoplus_{r,s=0}^\infty T^r_s(V).$$

Entonces él viene a definir la multiplicación de esta álgebra. Primero interpretar tensor como multilineal de asignación, entonces el tensor de la multiplicación es mucho más simple. Él va a definir la multiplicación cuando realmente interpretar los tensores como elementos del tensor de producto de espacio vectorial entonces dice lo siguiente:

Si los tensores no son interpretadas como multilineal asignaciones, entonces el tensor de la multiplicación puede ser definido con la ayuda de la permutación de las operaciones, teniendo en cuenta la asociatividad, como la asignación de $$f_\sigma : \underset{p}{V^\ast\otimes\cdots\otimes V^\ast} \otimes \underset{q}{V\otimes \cdots\otimes V}\otimes \underset{p'}{V^\ast\otimes \cdots\otimes V^\ast} \otimes \underset{q'}{V\otimes \cdots \otimes V}\to\\ \to \underset{p+p'}{V^\ast\otimes \cdots \otimes V^\ast}\otimes \underset{q+q'}{V\otimes \cdots \otimes V}$$ donde $\sigma$ permutes el tercer grupo de $p'$ índices en el lugar después de que el primer grupo de $p$ índices, conservando su orden relativo, así como el orden relativo de los remianing índices. En esta variante, el bilinearity del tensor de la multiplicación es evidente, y su asociatividad y se convierte en la identidad entre permutaciones.

Así lo he leído un montón de veces, pero yo simplemente no entiendo cómo esto define una multiplicación en $T(V)$. Elementos de $T(V)$ son secuencias de los tensores con sólo un número finito distinto de cero términos. Yo no puedo ver cómo esto define una multiplicación. Yo no puede ver también cómo el mapa de $f_\sigma$ entra en juego, o incluso cómo esta multiplicación se define.

¿Cuál es el autor haciendo allí? Cómo se define la multiplicación en $T(V)$?

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Deje $T(V)$ ser dada por

$$T(V)=\bigoplus_{r,s=0}^\infty T^r_s(V).$$

Que nos llame a los índices de $r$ $s$ los "pesos". La idea es definir el asociativa del producto en la bi-componentes homogéneos $T^r_s(V)$$T(V)$, la preservación de la bi-ponderación. Para hacer las cosas más complicadas, por favor, tenga en cuenta que si $V$ $\mathbb Z$- graduada de espacio vectorial, entonces tendríamos 2 pesos y una calificación. Aquí vamos a considerar el caso sin

• ° Caso: flip

Tras el análisis en http://math.stackexchange.com/questions/557981/existence-of-isomorphism-between-tensor-products/558001 presentamos la tapa del operador

$$\tau: V_1\otimes V_2\rightarrow V_2\otimes V_1$$

con $\tau(v_1\otimes v_2):=f_{\sigma}(v_1\otimes v_2)=v_2\otimes v_1$ donde $\sigma$ es el intercambio de permutación. En nuestro contexto,$V_1=V$$V_2=V^{*}$.

La multiplicación en $T(V)$ es, entonces, el mapa asociativo

$$\Gamma^{p,s}_{q,r}:=1^{\otimes p}\otimes \sigma_{q,r}\otimes 1^{\otimes s} : T^p_q(V)\otimes T^r_s(V)\rightarrow T^{p+r}_{q+s}(V) $$

con $$(1^{\otimes p}\otimes \sigma_{q,r}\otimes 1^{\otimes s})((v_1\otimes\dots\otimes v_p\otimes w_1\otimes\dots\otimes w_q)\otimes (z_1\otimes\dots\otimes z_r\otimes u_1\otimes\dots\otimes u_s)):= (v_1\otimes\dots\otimes v_p\otimes z_1\otimes\dots\otimes z_r) \otimes (w_1\otimes\dots\otimes w_q\otimes u_1\otimes\dots\otimes u_s)$$

en la bi-componentes homogéneos de $T(V)$ donde $\sigma_{q,r}$ indica el fin de la preservación de permutación se describe en el OP, construido por la adecuada aplicación de los flip operador en las cadenas de arriba. La asociatividad sigue considerando las composiciones

$$\Gamma^{p+r,m}_{q+s,n}\circ(\Gamma^{p,r}_{q,s}\otimes 1^{\otimes m+n}): (T^p_q(V)\otimes T^r_s(V))\otimes T^m_n(V)\rightarrow T^{p+r+m}_{q+s+n}(V)$$

y

$$\Gamma^{p,r+m}_{q,s+n}\circ(1^{\otimes p+q}\otimes\Gamma^{r,m}_{s,n}): T^p_q(V)\otimes (T^r_s(V))\otimes T^m_n(V))\rightarrow T^{p+r+m}_{q+s+n}(V)$$

y la comprobación de las cadenas, en consecuencia.

• ° Caso: antiflip

Es posible introducir no trivial de signos en la enseñanza de caso. Para ello se define la multiplicación en $T(V)$ como la asociativa mapa

$$\Gamma^{p,s}_{q,r}:=1^{\otimes p}\otimes \sigma_{q,r}\otimes 1^{\otimes s} : T^p_q(V)\otimes T^r_s(V)\rightarrow T^{p+r}_{q+s}(V) $$

con $$(1^{\otimes p}\otimes \sigma_{q,r}\otimes 1^{\otimes s})((v_1\otimes\dots\otimes v_p\otimes w_1\otimes\dots\otimes w_q)\otimes (z_1\otimes\dots\otimes z_r\otimes u_1\otimes\dots\otimes u_s)):=(-1)^{qr} (v_1\otimes\dots\otimes v_p\otimes z_1\otimes\dots\otimes z_r) \otimes (w_1\otimes\dots\otimes w_q\otimes u_1\otimes\dots\otimes u_s)$$

en la bi-componentes homogéneos de $T(V)$ donde $\sigma_{q,r}$ indica el fin de la preservación de permutación se describe en la OP. El signo $(-1)^{qr}$ refleja el movimiento de $r$ factores a través de $q$ factores, sin cambiar el orden. Esto es equivalente a la construcción $\sigma_{q,r}$ considerando el anti flip

$$\tau_{-}: V_1\otimes V_2\rightarrow V_2\otimes V_1$$

con $\tau_{-}(v_1\otimes v_2):=-f_{\sigma}(v_1\otimes v_2)=-v_2\otimes v_1.$

El estudio de la asociatividad, es decir, las composiciones $\Gamma^{p+r,m}_{q+s,n}\circ(\Gamma^{p,r}_{q,s}\otimes 1^{\otimes m+n})$ $\Gamma^{p,r+m}_{q,s+n}\circ(1^{\otimes p+q}\otimes\Gamma^{r,m}_{s,n})$ los signos que producen son $(-1)^{qr}(-1)^{(q+s)m}$$(-1)^{sm}(-1)^{(r+m)q}$, que son iguales. Aparte de la señal de verificación, la prueba de la asociatividad es un poco largo, pero sencillo.

Answer 2

Esta situación se combina con dos o tres diferentes temas de una manera confusa.

En primer lugar, "el tensor de álgebra", admite una clara descripción, en términos de las propiedades de la asignación universal, de la siguiente manera, sin demasiado hablando de "tensores": durante un determinado campo de tierra $k$ el álgebra universal $A(V)$ $k$- vectorspace $V$ es asociativa $k$-álgebra y $k$-vectorspace mapa de $V\to A(V)$, de modo que para cualquier $k$-vectorspace mapa de $V$ $k$- álgebra $B$, no hay una única $k$-álgebra de mapa de $A(V)\to B$ de manera tal que el original $V\to B$ factores a través de ella. Puramente por razones categóricas $A(V)$ es único hasta un único isomorfismo, si es que existe.

Segundo, la discusión habitual de "tensor de álgebra(s)" en realidad es sólo la prueba de la existencia de la construcción: tome $A(V)=k\oplus V\oplus \bigoplus_{n\ge 2}\bigotimes^n V$, con la consecuente inclusión de $V$ y obvia $k$-vectorspace estructura. La multiplicación se define (y la canonicalness puede ser discutido más adelante) por la distributividad y $$ (v_1\otimes \ldots \otimes v_m)\cdot (w_1\otimes \ldots \otimes w_n) = v_1\otimes\ldots\otimes v_m\otimes w_1\otimes\ldots\otimes w_n $$ Sí, este es inducida a partir de bilineal mapas, etc.

En tercer lugar, en la pregunta, realmente el álgebra producto tensor de $A(V)$ $A(V^*)$ está siendo considerado, pero (al menos por el momento) no se hace uso del hecho de que el segundo vectorspace es el doble de la primera. Para$x,x'\in A(V)$$y,y'\in A(W)$, para las dos espacios vectoriales $V,W$, sin hacer referencia a la estructura interna en absoluto, $(x\otimes y)\cdot (x'\otimes y')=xx'\otimes yy'$.

Ahora, con algo de precaución está en orden, porque en algunos casos hay un $\mathbb Z/2$ de calificación en las cosas, con signo volteretas en función del número de intercambios. Pero, incluso entonces, el álgebra de operadores meramente necesitan dividirse en pares e impares de las partes, no tanto expandió en el tiempo "palabras" en términos de la base de vectores.