Encontrar la mgf cuando se dan momentos

Question

Que $X$ ser una variable aleatoria y se conoce que la mgf de $X$ existe.

Si se da el momento de th de $k$ $m_k=\mathbb E[X^k]=\frac{(2k+1)!}{k!2^k}$ $k=0, 1, ...$

Problema: Encontrar la mgf de $X$.

Mi intento: es de la mgf de $X$ $M_X (t)= \sum_{k=0}^\infty \frac{m_k}{k!}t^k=\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^22^k}t^k$.

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo seguir adelante. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

$$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{2k}{k}x^k = (1-4x)^{-1/2}$$

Poner $x = \frac{t}{2}$,

$$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{2k}{k}\left(\frac{t}{2}\right)^k = (1-2t)^{-1/2}$$

Tomar el derivado wrt $t$,

$$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{2k}{k}\frac{k}{2}\left(\frac{t}{2}\right)^{k-1} = (1-2t)^{-3/2}$$

multiplicar con $t$,

$$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{2k}{k}k\left(\frac{t}{2}\right)^{k} = t(1-2t)^{-3/2}$$

Por último,

$$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{2k}{k}(2k+1)\left(\frac{t}{2}\right)^{k} = 2t(1-2t)^{-3/2} + (1-2t)^{-1/2} = (1-2t)^{-3/2}$$

Por lo tanto, la distribución es,

$$gamma\left(\frac{3}{2}, 2\right)$$

Compruebe esta pregunta para la prueba de la primera ecuación.