Quiero evaluar la siguiente sumatoria:
$$\sum_{n = 1}^{71} \sin^{2560}\left(\frac{n\pi}{71}\right)$$
La forma en que me acerqué a este problema fue convertir a $\sin\left(\frac{n\pi}{71}\right)$ en forma compleja mediante:
$$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$
Sustituto $\sin(x)$ con forma compleja y resolver la serie para finalmente deducir que:
$$\frac{71}{2^{2560}}\sum_{n=0}^{36}\left(-1\right)^n \begin{pmatrix} 2560\\71n+2\\\end{pmatrix}$$
Aquí es donde finalmente me pegó, pero he intentado utilizar la calculadora con menor potencia de $\sin$ ($\sin^{50}\left(\frac{n\pi}{23}\right)$ o $\sin^{20}\left(\frac{n\pi}{71}\right)$) para calcular la alternativa pero similar a la versión original de la sumatoria a ver cómo sería la respuesta parece, hasta ahora, la respuesta parece ser$$\frac{71}{2^{2560}}\begin{pmatrix} 2560\\1280\\\end{pmatrix}$$, aunque este aún no se han confirmado o probado.
La suma que he conseguido hacer que sea difícil para confirmar la respuesta, ya que ella decida términos muy específicos para calcular decir, cada 71 términos y también es alterna.
El método que se debería enfocar este problema y es que mi enfoque se apropió? Si es así, ¿cómo puedo solucionar para combinatoria suma de este tipo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta suma es
$$S = \sum_{k=0}^{p-1} \sin^{4n}(k \pi/p)$$
donde $n=640$ $p=71.$ En lo que sigue tomaremos $p$ impar.
También tenemos
$$\sum_{k=p}^{2p-1} \sin^{4n}(k \pi/p) = \sum_{k=0}^{p-1} \sin^{4n}((k+p) \pi/p) = \sum_{k=0}^{p-1} \sin^{4n}(k \pi/p)$$
de modo que en realidad el trato con
$$\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2p-1} \sin^{4n}(k \pi/p) = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{2p-1} \sin^{4n}(2k \pi/2/p).$$
La introducción de
$$f(z) = \frac{1}{2} \frac{(z-1/z)^{4n}}{(2i)^{4n}} \frac{2p z^{2p-1}}{z^{2}-1} = \frac{1}{2} \frac{1}{2^{4n} (-1)^{2n}} \frac{(z^2-1)^{4n}}{z^{4n}} \frac{2p z^{2p-1}}{z^{2}-1} \\ = \frac{p}{2^{4n}} \frac{(z^2-1)^{4n}}{z^{4n+1-2p}} \frac{1}{z^{2}-1}$$
tenemos
$$S = \sum_{k=0}^{2p-1} \mathrm{Res}_{z=2\pi ik/2/p} f(z).$$
Esto implica
$$S = - \mathrm{Res}_{z=\infty} f(z) - \mathrm{Res}_{z=0} f(z).$$
Nos heve para la contribución del primer residuo $$\mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^2} f(1/z).$$
Este rendimientos
$$\mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^2} \frac{p}{2^{4n}} (1/z^2-1)^{4n} z^{4n+1-2p} \frac{1}{1/z^{2}-1} \\ = \mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^2} \frac{p}{2^{4n}} \frac{(1-z^2)^{4n}}{z^{8n}} z^{4n+1} \frac{1}{1-z^{2}} \\ = \mathrm{Res}_{z=0} \frac{1}{z^{4n+1}} \frac{p}{2^{4n}} (1-z^2)^{4n} \frac{1}{1-z^{2}}.$$
Este es
$$[z^{4n}] \frac{p}{2^{4n}} (1-z^2)^{4n} \frac{1}{1-z^{2}} = [z^{2n}] \frac{p}{2^{4n}} (1-z)^{4n} \frac{1}{1-z^{p}}.$$
De este modo, obtener
$$\frac{p}{2^{4n}} \sum_{q=0}^{\lfloor 2n/p\rfloor} (-1)^{2n-pq} {4n\elegir 2n-pq}.$$
Tenemos para la contribución de la segunda residuo
$$- [z^{4n-2p}] \frac{p}{2^{4n}} (z^2-1)^{4n} \frac{1}{z^{2}-1} = [z^{2n-p}] \frac{p}{2^{4n}} (z-1)^{4n} \frac{1}{1-z^{p}}$$
que es
$$\frac{p}{2^{4n}} \sum_{q=0}^{\lfloor (2n-p)/p\rfloor} (-1)^{4n-(2n-p-pq)} {4n\elegir 2n-p-pq}.$$
Por lo tanto, tienen la combinación de las dos piezas (con $p$ impar tenemos $(-1)^{2n-pq} = (-1)^q$ y $(-1)^{2n+p+pq} = - (-1)^{pq} = - (-1)^q$)
$$\frac{p}{2^{4n}} \sum_{q=0}^{\lfloor 2n/p\rfloor} (-1)^{q} {4n\elegir 2n-pq} - \frac{p}{2^{4n}} \sum_{q=0}^{\lfloor 2n/p\rfloor - 1} (-1)^{q} {4n\elegir 2n-p-pq} \\ = \frac{p}{2^{4n}} \sum_{q=0}^{\lfloor 2n/p\rfloor} (-1)^{q} {4n\elegir 2n-pq} - \frac{p}{2^{4n}} \sum_{q=1}^{\lfloor 2n/p\rfloor} (-1)^{p-1} {4n\elegir 2n-pq}.$$
Esto produce que el resultado final
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ \frac{p}{2^{4n}} {4n\elegir 2n} + 2 \times \frac{p}{2^{4n}} \sum_{q=1}^{\lfloor 2n/p\rfloor} (-1)^{q} {4n\elegir 2n-pq}.}$$
En el caso específico que se pidió esta
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ \frac{71}{2^{2560}} {2560\elegir 1280} + 2 \times \frac{71}{2^{2560}} \sum_{q=1}^{18} (-1)^{q} {2560\elegir 1280-71q}.}$$
