Cuando está cerrado $M+N$

Question

Que $X$ ser un espacio de Banach y $M,N$ subespacios cerrados. Si se cierra la gama de transformación lineal $x\to (x+M)\oplus (x+N)$ $X$ $X/M\oplus X/N$ mostrar que $M+N$ es cerrado.

o usando $M^\perp+ N^\perp $ norma cerrada para mostrar se cierra $M+N$

Answer 1

Le daré una pista:

Nos permite comenzar con la definición, es decir, tomar secuencias $(x_n)_n$ $M$ y $(y_n)_n$ $N$ $x_n + y_n \to z$ $z \in X$. Queremos mostrar $z \in M+N$.

Ahora, nos escriba $\Gamma : X \to X/M \oplus X/N, x \mapsto (x+M) \oplus (x+N)$. Tenemos

$ \Gamma(x_n) = (0, x_n + N) = (0, x_n y_n + N) \to (0, z + N). $$

¿Por qué y cómo nos la asunción ayuda ahora?