La respuesta se puede encontrar en "Cálculo sin derivados" del Prof. Jean-Paul Penot. Me refiero a Lexema 3.94 p.251.
La respuesta es la siguiente : un equivalente de la norma en el dual $X^*$ es el doble de la norma de una norma equivalente en $X$ si y sólo si es débil-* menor semicontinuo.
La principal idea es la siguiente. Consideremos las notaciones introducidas en la pregunta anterior.
--> Si $N_2^*$ es una norma en $X^*$ equivalente a $N_1^*$, entonces se puede demostrar fácilmente que $N_2$ es una norma equivalente a $N_1$.
--> Ahora, vamos a denotar por $\tilde{N}_2$ el doble de la norma asociada a $N_2$. Nuestro objetivo es demostrar que $N_2^* = \tilde{N}_2$. Según lo detallado por @anónimo, se puede demostrar fácilmente que $\tilde{N}_2 \leq N^*_2$.
--> Ahora, supongamos por contradicción que existe $f \in X^*$ tal que $\tilde{N}_2 (f) < N^*_2 (f)$. Entonces, existe $g \in X^*$ tal que $0 < \tilde{N}_2 (g) \leq 1 < N^*_2 (g)$. Desde $N^*_2$ es débil-* menor semicontinuo, su unidad es el de la bola de B es convexo y cerrado en $X^*$ con el débil-* topología. Como consecuencia, de la de Hahn-Banach separación teorema, podemos separar $\{ g \}$$B$. Desde la doble vertiente de la $X^*$ (dotado con el débil-* topología) coincide con $X$, obtenemos que existe $x_0 \in X$ tal que
$$ f(x_0) \leq \alpha - \varepsilon < \alpha + \varepsilon \leq g(x_0)$$ for all $f \in B$. In particular, $x_0 \neq 0$. Then, from definition of $N_2$, we get that $$N_2 (x_0) < g(x_0) \leq \tilde{N}_2 (g_0) N_2 (x_0)$$ and we obtain that $\tilde{N}_2 (g_0) > 1$. Esta es una contradicción.
La conclusión de la siguiente manera.
