Aproximación a las particiones en $L^2([0,1]\times \Omega)$

Question

Estoy trabajando en Nualart del libro "El cálculo de Malliavin y temas relacionados", y en la prueba del lema 1.1.3 se menciona que los operadores de $P_n$ tienen su operador de la norma acotada por 1. No veo por qué, me puedes ayudar? Usando la desigualdad de Jensen puedo obtener una norma más parecido a $2^n$, por lo que supongo que Jensen es demasiado débil para demostrar que?

Citando la prueba:

Deje $u$ ser un proceso en el $L^2_a([0,1]\times\Omega)$ ($L^2_a$ son los procesos adaptados w.r.t el movimiento Browniano) y considerar la secuencia de los procesos definidos por $\tilde u^n(t)=\sum_{i=1}^{2^n-1}2^n\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)ds\right)1_{]i2^{-n},(i+1)2^{-n}]}(t)$.

Pretendemos que la secuencia converge a$u$$L^2([0,1]\times\Omega)$. De hecho definen $P_n(u)=\tilde u^n$. A continuación, $P_n$ es un operador lineal en $L^2([0,1]\times\Omega)$ con la norma acotada por uno.

Answer 1

Creo que hay algunos errores tipográficos. Debe ser\begin{align*} \tilde u^n(t)=\sum_{i=1}^{\color{red}{2^n}}2^n\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)ds\right)1_{]\color{red}{(i-1)2^{-n}, i2^{-n}}]}(t) \end{align*} entonces, tenga en cuenta que\begin{align*} E\left(\int_0^1\left(\tilde{u}^n\right)^2dt \right)&=\sum_{i=1}^{2^n}2^{2n}E\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)ds\right)^2 dt\right)\\ &=\sum_{i=1}^{2^n}2^{n}E\left(\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)ds\right)^2 \right)\\ &\le \sum_{i=1}^{2^n}2^{n}E\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}1^2ds\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u^2(s)ds \right) \ \ \text{(by Schwarz inequality)}\\ &= \sum_{i=1}^{2^n}E\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u^2(s)ds\right)\\ &= E\left(\sum_{i=1}^{2^n}\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u^2(s)ds\right)\\ &= E\left(\int_0^{1}u^2(s)ds \right)\\ &=||u||^2. \end{align*} por lo tanto, $P$ tiene norma 1.

Answer 2

La desigualdad de Jensen funciona bien. De hecho (corregir el error descubierto por Gordon):

$$\int_0^1 (\tilde{u}^n)^2 (t) dt = \int_0^1 \sum_{i=0}^{2^n-1}\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)2^nd\right)^2 1_{]i2^{-n},(i+1)2^{-n}]}(t) dt,$$

ya que todo el característico funciones discontinuas de apoyo. Por lo tanto, utilizando la desigualdad de Jensen (con la probabilidad de medidas de $2^n ds$ en cada intervalo de $]i2^{-n},(i+1)2^{-n}]$):

$$\begin{align}\|P_n u\|_{\mathbb{L}^2}^2 & \leq \int_0^1 \sum_{i=0}^{2^n-1}\left(\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)^2 2^nds\right) 1_{]i2^{-n},(i+1)2^{-n}]}(t) dt \\ & = \sum_{i=0}^{2^n-1} \left(2^n\int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)^2 ds\right) \int_0^1 1_{]i2^{-n},(i+1)2^{-n}]}(t) dt \\ & = \sum_{i=0}^{2^n-1} \int_{(i-1)2^{-n}}^{i2^{-n}}u(s)^2 ds \\ & = \|u\|_{\mathbb{L}^2}^2. \end{align}$$

Así, en este caso, la desigualdad de Jensen no es más débil; sólo hay que tener cuidado en donde se aplica.

Nota, por cierto, que esto puede ser demostrado ser mucho más rápido. Fix $n\geq 0$. Deje $\pi_n := \{]i2^{-n},(i+1)2^{-n}]: \ 0 \leq i < 2^n\}$, e $\mathcal{C}_n := \sigma (\pi_n)$ $\sigma$- álgebra generada por $\pi_n$. Entonces:

$$P_n (u) = \mathbb{E} (u | \mathcal{C}_n),$$

y la esperanza condicional es siempre un débiles $\mathbb{L}^2$ contracción, que puede ser demostrado por ejemplo con el condicional versión de la desigualdad de Jensen:

$$\mathbb{E} (P_n (u)^2) = \mathbb{E} (\mathbb{E} (u | \mathcal{C}_n)^2) \leq \mathbb{E} (\mathbb{E} (u^2 | \mathcal{C}_n)) = \mathbb{E} (u^2).$$

Este punto de vista tiene más sentido desde una probabilist del punto de vista, creo.