Mal razonamiento rendimientos $1=0$

Question

Estaba pensando en esta secuencia

\begin{equation}\tag{1} n=\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{\ldots}}}}} \end{equation} es bien sabido que esto converja a n. Por ejemplo: $$3=\sqrt{9}=\sqrt{6+3}=\sqrt{6+\sqrt{9}}=\sqrt{6+\sqrt{6+3}}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}$ $

El problema es cuando $n=0$ y $n=1$, ya que cuando aplicamos la fórmula $(1)$, en ambos casos obtenemos

¿$$\sqrt{0+\sqrt{0+\sqrt{0+\sqrt{0+\sqrt{\ldots}}}}}$ $ Esto produce $$0=1$ $ me puedes decir dónde está el error en el razonamiento?

Answer 1

Si el anidado de la raíz cuadrada tiene ningún sentido en absoluto, es como el límite de una secuencia de finitely expresiones anidadas. Necesita especificar cuáles.

Por ejemplo, puede especificar una función inicial $a_0(n)$, y vamos a $a_{j+1}(n) = \sqrt{n^2 - n + a_{j}(n)}$. Luego quiere demostrar algo sobre el límite de $a_j(n)$$j \to \infty$. Es fácil ver que si la límite existe debe ser $n$ o $1-n$, siendo posible sólo si son no negativos (si queremos que todo lo real, no permitiendo que los negativos de las raíces cuadradas), debido a que la función $f(t) = \sqrt{n^2-n+t}$ tiene solamente los puntos fijos, pero eso no quiere decir que el límite existe.

Tenga en cuenta también que $f'(n) = 1/(2 |n|)$, mientras que $f'(1-n) = 1/(2 |1-n|)$, por lo que el punto fijo $n$ es estable si $n > 1/2$ mientras $1-n$ es estable si $n < 1/2$.

Answer 2

Pensar en cómo se podría definir la expresión \begin{equation}\tag{1} \sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{\ldots}}}}} \end{equation} Como otros ya han mencionado, puede utilizar una secuencia con recursividad $a_{k+1} = \sqrt{n^2-n+a_k}$. Sin embargo, esta repetición de la fórmula por sí no no definir una secuencia. Más bien, para definir una secuencia debe además dar una recursividad empezar a $a_0$.

Ahora es fácil ver que si usas $a_0=n$, entonces para cualquier $k>0$, $a_k=n$ así, y por lo tanto la secuencia trivialmente converge a $n$. Sin embargo, tenga en cuenta que la expresión de $(1)$ sí no implica un determinado $a_0$. Y esa es la raíz del problema.

Ahora considere específicamente el caso de $n=1$. En este caso, la recursividad de la regla se simplifica a $a_{k+1}=\sqrt{a_k}$.

Ahora considere el $a_0=1$. Entonces es fácil ver que $a_k=1$ todos los $k$. Así, la secuencia converge a $1$.

Consideran, sin embargo,$a_0=0$. Luego es tan fácil ver que $a_k=0$ todos los $k$, y por lo tanto la secuencia converge a $0$.

Por lo tanto, la expresión de $(1)$ no está bien definida , a menos que se disponga expresamente una regla de cómo elegir a $a_0$ (o proporcionar de otro modo explícito a interpretar que la expresión; el punto es que lo que sea que usted elija como su significado debe ser completamente especificado).

Answer 3

• La expresión en el lado derecho no está bien definida, ya que uno no se puede saber si el objeto existe o no: \begin{equation}\tag{1} n=\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{\ldots}}}}} \end{equation} En tiene que dar una precisa definición de la $\sqrt{\cdots}$ part. "Seguir así", por ejemplo, no es una definición matemática.

• "Que es, bien conocido, converge a n."

  Disculpe mi ignorancia, creo que no es un "conocido" hecho. Y ni siquiera creo que es un enunciado matemático. Nuevamente, es necesario definir "converge" cuidadosamente.

• Por ejemplo: $$3=\sqrt{9}=\sqrt{6+3}=\sqrt{6+\sqrt{9}}=\sqrt{6+\sqrt{6+3}}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots}}}$$

  "Por ejemplo" no es una prueba.

Answer 4

Si nos fijamos en $(1)$, decir ajustamos $$x=\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{n^2-n+\sqrt{\dots}}}}$ $ porque esto continúa para siempre, claramente tenemos que $$x^2-(n^2-n)=x$ $ solucionar esto utilizando la fórmula cuadrática rendimientos $x=1-n$ o $x=n$. En este punto, simplemente elegimos lo que hace desde (es decir, si $n>1$, entonces el $x$ es claramente positiva, así que tomamos $x=n$). En nuestro caso de $n=1$, tiene sentido que $x=1-n$.

Answer 5

Fórmulas de $1$ naturalmente no converge a $1$. Si una fórmula funciona para casi todos los $n$, no es necesario que el trabajo de todos los $n$, ¿verdad? Por lo que no tiene sentido aplicar la fórmula en $n=1$, a pesar de que converge en todos los demás.

Para dar otro ejemplo, supongamos que se me da esta secuencia:$$ \sqrt{n^2 - bn + b\sqrt{n^2-bn + b\sqrt{n^2-bn + b\sqrt{n^2-bn + \ldots}}}} $$

Entonces, es fácil ver que esta secuencia converge a $n$ en casi todas las $n$, ya que sólo tenemos $n = \sqrt{n^2-bn+bn}$. Sin embargo, en $n=b$, vemos que esto se simplifica a $0$. Ahora, nos gustaría decir que $b=0$, pero esto no es cierto, no? (Podríamos haber escogido $b$ al azar, lo hiciste por $b=1$).

Por lo tanto, la toma de todo el asunto es que la fórmula no funciona en ciertos casos, si bien puede funcionar en una amplia generalidad.