Toro y espacio proyectivo

Question

definimos el espacio proyectivo como $\mathbb{S^2/Z_2}$ es decir, identificar los puntos antipodal y el toro como $\mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2.$

Y ahora estoy preocupado con su estructura múltiple-

De hecho, he podido cubrir a ambos con tres cartas y también es inmediata me que un gráfico no puede cubrir, ya que son compactos, por lo que su imagen sería compacta bajo un Homeomorfismo. A pesar de, no veo por qué dos tablas no pueden cubrirlos. ¿Hay un argumento fácil para esto?

Answer 1

Aquí estoy tratando de dar una idea intuitiva...Vamos a ver que tan lejos puedo dejar claro...supuse gráfico significa que es homeomórficos con una copia de abrir disc $D^2$.

deje $U,V$ dos gráfico que cubren estos dos espacios, $U\cup V=X$ $U,V$ es homeomórficos abrir disc $\mathbb{D^2}$...ahora puesto que X es compacto, por límite de $U$ debe contenidas correctamente en $V$ igualmente límite de $V$ contenida dentro de $U$...ahora si puedo tomar un punto de $u$ $U$ $\bar{U}-u$ es d.r a $\partial{U}$ ...ahora desde $\partial{U} \subset V$ por lo que el espacio restante se contráctiles... yo.e $X$\un punto de contráctiles...pero en el caso del toro y proyectiva del espacio no es cierto, torus menos un punto de la deformación retraer en la figura 8, donde proyectiva del plano menos un punto d.r en círculo...