Como tengo entendido, se requiere que para que el producto escalar entre dos vectores de ser invariante bajo transformaciones de Lorentz $x^{\mu}\rightarrow x^{\mu^{'}}=\Lambda^{\mu^{'}}_{\,\,\alpha}x^{\alpha}$, se requiere que la métrica $\eta_{\mu\nu}$ transformación de la $\eta_{\mu\nu}\rightarrow \eta_{\mu^{'}\nu^{'}}=\Lambda^{\alpha}_{\,\,\mu^{'}}\eta_{\alpha\beta}\Lambda^{\beta}_{\,\,\nu^{'}}$.
[Ya que requieren que el $x^{\mu^{'}}x_{\mu^{'}}=x^{\alpha}x_{\alpha}\Rightarrow x^{\mu^{'}}x_{\mu^{'}}=\eta_{\mu^{'}\nu^{'}}x^{\mu^{'}}x^{\nu^{'}}=\eta_{\mu^{'}\nu^{'}}\Lambda^{\mu^{'}}_{\,\,\alpha}\Lambda^{\nu^{'}}_{\,\,\beta}x^{\alpha}x^{\beta}=x^{\alpha}x_{\alpha}=\eta_{\alpha\beta}x^{\alpha}x^{\beta}$].
Lo que me confunde, es que he estado leyendo en la constante cosmológica problema y en varios conjuntos de notas se afirma que la contribución de la energía del vacío de la densidad de la energía-impulso del tensor debe ser de la forma $$T^{vac}_{\mu\nu}=-\rho^{vac}g_{\mu\nu}$$ the argument being that the vacuum must be Lorentz invariant and the only Lorentz invariant tensor is the metric tensor $\eta_{\mu\nu}$ (aparte de la de Levi-Civita tensor (densidad)).
No veo cómo esto es el caso por mirar a $\eta_{\mu^{'}\nu^{'}}=\Lambda^{\alpha}_{\,\,\mu^{'}}\eta_{\alpha\beta}\Lambda^{\beta}_{\,\,\nu^{'}}$, ¿cómo es obvio que este es invariante Lorentz? ¿No debería ser algo como $\eta_{\mu^{'}\nu^{'}}=\eta_{\mu\nu}$?
Disculpas si esto es una pregunta estúpida, pero estoy teniendo un bloqueo mental sobre él.
