Formulación de la función verde de la mecánica cuántica

Question

Supongamos que estoy dado el vacío de la expectativa de valor de tiempo de los productos solicitados de la posición de los operadores en la imagen de Heisenberg. Dada esta función de Green, es posible obtener información acerca de los autovalores de la energía mediante la inserción de un conjunto completo de base de los estados? Estoy adjuntando la captura de pantalla del problema a continuación:

Traté de inserción de los estados, pero no podía entender cómo se podía obtener información acerca de los autovalores (y en última instancia acerca de la forma funcional de la Hamiltoniana) si sólo se nos da el Verde de las funciones.

Nota: Esta es realmente el problema 1 del capítulo 3 en Tom Banco del libro en qft.

Answer 1

Creo que debería ser posible para recuperar la energía autovalores sólo a partir de los 2 puntos de función. Para $t_2 \geq t_1$, el uso de ese $H \left|0\right\rangle = 0$, tengo: $$ \left\langle 0 \medio| \,\hat{x}(t_2) \, \hat{x}(t_1)\, \medio| 0 \right\rangle = \left\langle 0 \medio| \,\hat{x} \,e^{i \delta t}\, \hat{x}\, \medio| 0 \right\rangle = \sum_n e^{i \delta t E_n}\, \left\langle 0 \medio| \,\hat{x} \, \medio| n \right\rangle \,\left\langle n \medio| \hat{x}\, \medio| 0 \right\rangle =: G(\delta t) $$ donde $\delta t = t_2 - t_1 \geq 0$, $\hat{x} := \hat{x}(0)$ y $\left| n \right\rangle, E_n$ son la energía vectores propios/autovalores. Desde $\alpha_n := \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \, \middle| n \right\rangle \,\left\langle n \middle| \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle$ es real, tenemos $G(-\delta t) = \overline{G(\delta t)}$, por lo que sabemos $G$ todos los $\delta t \in \mathbb{R}$. Entonces su transformada de Fourier será una suma de deltas de Dirac localizada en la $E_n$'s, con amplitudes $\alpha_n$.

Supongo que se puede obtener más información buscando en $3$-puntos de funciones y así sucesivamente, en última instancia, la recuperación de la totalidad de la información en la teoría de Verde de sus funciones.

Para dar un poco de contexto, este problema puede ser visto como un bebé versión de la reconstrucción de una QFT de su trayectoria integral (a la Osterwalder–Schrader reconstrucción teorema).