Automorfismos de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$

Question

Bien, entonces necesito calcular un automorfismo en $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ utilizando el hecho de que si $f\colon G\to H$ es un automorfismo y $G=\langle K\rangle$ entonces $f$ se determina por el lugar al que lleva a los miembros de $K$ .

Creo que $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 = \langle(0,1),(1,0)\rangle$ bajo adición pero no estoy seguro de cómo calcular exactamente este automorfismo. ¿Es tan sencillo como construir una tabla de Cayley? ¿O sólo tengo que mostrar cómo los núcleos calcularán todos los elementos en $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ ? ¿O tengo que construir la función?

No estoy seguro de cuál es la norma aquí.

Answer 1

En caso de que esté interesado en construir o definir algún $f$ para ser un automorfismo de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ en lugar de construir un grupo automórfico:

Utilizando la sugerencia de i. m. soloveichik, se puede construir un automorfismo $f$ para actuar sobre los elementos de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ por multiplicación con cualquiera de los seis invertibles $2\times2$ matrices cuyas entradas son todos los elementos de $\mathbb{Z}_2$ .

Por ejemplo, si se multiplica $x \in \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ por $U$ , donde $U$ es el triángulo superior estricto $2\times 2$ matriz cuyos valores no nulos son todos $1$ entonces $f(x) = Ux$ define un automorfismo. (En este ejemplo, los elementos de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ se representaría en forma de vectores columna de dos por uno, por ejemplo, $(1, 0)^T$ .

Supongamos que $$ U = \begin{bmatrix}% 1 & 1 \\ 0 & 1% \end{bmatrix}% \quad \text{and}\quad \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 = \langle(0,1),(1,0)\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}% 0\\ 1 % \end{bmatrix} \begin{bmatrix}% 1\\ 0 % \end{bmatrix} \right\rangle = \left\{ \begin{bmatrix}% 0\\ 0 % \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}% 0\\ 1 % \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}% 1\\ 0 % \end{bmatrix} , \begin{bmatrix}% 1\\ 1 % \end{bmatrix}% \right\}.$$

Entonces $f: \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\;,$ donde $\;\;f(x) = Ux, \;\; x \in \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$

define un automorfismo en $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ .

Desde $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ tiene sólo cuatro elementos, se puede confirmar fácilmente que $f$ define un automorfismo en $G = \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ . Por ejemplo, $$U \begin{bmatrix}% 0\\ 1 % \end{bmatrix}% = \begin{bmatrix}% 1\\ 1 % \end{bmatrix}% \quad\quad U \begin{bmatrix}% 1\\ 0 % \end{bmatrix}% = \begin{bmatrix}% 1\\ 0 % \end{bmatrix}% \quad$$ etc.

Answer 2

El grupo de automorfismo $G$ de $V=Z_2\times Z_2$ es el mismo que el grupo de matrices invertibles de 2 por 2 con entradas en $Z_2$ . $G$ es un grupo de orden 6. Se puede ver la acción como la multiplicación de una matriz por un vector columna con entradas en $Z_2$ .

Answer 3

Sí, $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ es generado por $\langle 0,1\rangle$ y $\langle 1,0\rangle$ Por comodidad, llamaré a estos elementos $a$ y $b$ . El otro elemento no identitario es $\langle 1,1\rangle$ que llamaré $c$ .

• Si $f:\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2\to\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ es un automorfismo, debe tomar $a$ y $b$ a diferentes elementos no identitarios de $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ . (¿Por qué no deben ser la identidad? ¿Por qué deben ser distintos?)

Así, para construir un automorfismo $f$ de $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ sólo tiene que elegir uno de $a,b$ y $c$ para ser $f(a)$ y otro de ellos para ser $f(b)$ . Por ejemplo, puede decidir dejar que $f(a)=b$ y $f(b)=c$ . Ahora basta con utilizar las propiedades de un homomorfismo para calcular $f$ en su totalidad. Por ejemplo, $c=a+b$ , por lo que debe tener $f(c)=f(a)+f(b)=b+c=a$ , y por supuesto $f(\langle 0,0\rangle=\langle 0,0\rangle$ que llamaré $e$ . Puede mostrar $f$ en forma de tabla:

$$\begin{array}{rcc} x:&e&a&b&c\\ f(x):&e&b&c&a \end{array}$$

(Por supuesto, usted puede preferir utilizar las identidades "reales" de $e,a,b$ y $c$ en lugar de estos alias cortos). Sin demasiado trabajo puedes construir todos los automorfismos y escribir sus tablas correspondientes.

Si quieres contar los automorfismos sin tener que escribirlos todos, te conviene no sólo el punto anterior, sino también éste:

• Cada función de $\{a,b\}$ a $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ que envía $a$ y $b$ a distintos miembros de $\{a,b,c\}$ se extiende a un único automorfismo de $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ . (¿Por qué?)

Así, para contar los automorfismos de $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$ sólo hay que contar las funciones inyectivas de $\{a,b\}$ a $\{a,b,c\}$ . ¿Cuántas maneras hay de elegir $f(a)$ ? Una vez hecho esto, ¿cuántas maneras hay de elegir $f(b)$ ? ¿Cuántas formas hay de elegir ambos?