¿El conjunto del rango de una variable aleatoria es un evento en el espacio muestral?

Question

Mi libro tiene la siguiente definición para el rango de una variable aleatoria.

Dado que una variable aleatoria está definida en un espacio de probabilidad, podemos calcular estas probabilidades dadas las probabilidades de los puntos de muestra. Sea $a$ cualquier número en el rango de una variable aleatoria $X$. Entonces, el conjunto $\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$ es un evento en el espacio muestral (simplemente porque es un subconjunto de $\Omega$).

Creo que estoy malinterpretando la notación proporcionada, pero para mí esta expresión:

$$\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$$

parece estar diciendo "Para cada punto de muestra $\omega$ en el espacio muestral $\Omega$, calcular $X(\omega)$ y almacenar el resultado $a$ en el conjunto". Si la expresión anterior está diciendo lo que creo que dice, ¿cómo podemos decir que un conjunto de $\{X(\omega_1), X(\omega_2),\ldots,X(\omega_{|\Omega|})\}$ es un evento en el espacio muestral? ¿No son los eventos un subconjunto de $\{ \omega_1, \omega_2, \ldots\}$ de $\Omega$?

Answer 1

$\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$ significa el conjunto de puntos de $\Omega$ tales que cada punto es mapeado al valor de $a$ por la variable aleatoria $X: \Omega \mapsto \mathbb R$.

Es mejor escribir $\{X(\omega_1), X(\omega_2),\ldots,X(\omega_{|\Omega|})\}$ como $X(\Omega)$, ya que $\omega_{|\Omega|}$ a veces no tiene sentido si $\Omega$ no es finito. Pero tienes razón en que no es un evento, porque es un subconjunto de $\mathbb R.

Pero algunas veces escribimos $X$ directamente como una presentación/notación. Por ejemplo, escribimos $u

Answer 2

La primera parte del constructor indica de dónde se extraen los elementos.   La segunda parte del constructor indica los criterios de aceptación.

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Así que $\{\omega \in \Omega : X(\omega)=a\}$ se lee: "el conjunto de resultados en el espacio muestral, $\Omega$, cuya medida $X$ es igual a $a".

Es decir, examinar cada resultado del espacio muestral, pero solo aceptarlo si el valor de $X$ es igual a $a, de lo contrario desecharlo.

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De la misma manera, un círculo es $\{(x,y)\in\Bbb R^2: x^2+y^2=c^2\}$; leído como "el conjunto de puntos en el plano real cuya suma de cuadrados es igual a $c^2$".

Answer 3

Los eventos son subconjuntos medibles de $\Omega$ y $\Omega$ es el dominio, no el rango, de la variable aleatoria. Lo que se define en el pasaje citado es un subconjunto de $\Omega,$ es decir, un subconjunto del conjunto de todas las entradas de $X$ no del conjunto de todas las salidas.

Por ejemplo, supongamos que lanzas un par de dados y cada uno te da un número en el conjunto $\{1,2,3,4,5,6\}.$ Tu espacio de probabilidad es el conjunto $$ \Omega = \left\{ \begin{array}{cccccc} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\(5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \end{array} \right\}. $$ Sea $X$ la suma de los dos números en el par.

Luego, el evento $X=10$ es el conjunto $$ \{\omega\in\Omega : X(\omega) = 10\} \quad = \quad \{ (4,6),\ (5,5),\ (6,4) \}. $$ Ese es un conjunto de tres de los $36$ puntos en $\Omega.

Haces referencia a "la siguiente definición para el rango de una variable aleatoria". Pero la declaración que citas ciertamente no es un intento de definir el rango. El rango es el conjunto $\{X(\omega) : \omega\in\Omega\}.$

La notación $\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$ ciertamente no significa "para cada $\omega\in\Omega$ calcular $X(\omega)$ y guardar el resultado en $a$." En primer lugar, la expresión en su conjunto debe ser leída como un sustantivo. Nombra un conjunto particular. No te está instruyendo a hacer algo (con ese conjunto u otra cosa). El objeto llamado $a$ se supone que ya está definido antes de que la definición tenga sentido; no te está diciendo que guardes algo en $a y no está diciendo "Sea $a=\text{algo}.$" Más bien, identifica ciertos elementos de $\Omega$ y excluye otros.

Answer 4

En la pregunta, la expresión $$\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$$ se interpreta de la siguiente manera:

Para cada punto de muestra $\omega$ en el espacio muestral $\Omega$, calcule $X(\omega)$ y almacene el resultado $a$ en el conjunto.

Una malinterpretación fundamental aquí es la noción de que la expresión del lado derecho de los dos puntos contribuye con algún valor al conjunto en absoluto. Los únicos valores que se pueden colocar en el conjunto son los valores llamados $\omega$ en el lado izquierdo de los dos puntos. La fórmula $\omega \in \Omega$ dice que cada valor $\omega$ que es miembro del conjunto $\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$ también debe ser un miembro de $\Omega$. Esa es prácticamente la definición de un subconjunto.

Lo que hace la expresión del lado derecho es seleccionar el subconjunto de $\Omega$ de la siguiente manera:

Para cada punto de muestra $\omega$ en el espacio muestral $\Omega$, calcule $X(\omega),$ compárelo con el valor $a$ y si los dos valores coinciden, entonces ese valor de $\omega$ pertenece al conjunto $\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}.$

En este procedimiento, $a$ es un valor que ya fue seleccionado del rango de $X$ antes de siquiera comenzar a escribir $\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$; durante toda la definición de un subconjunto particular $\{\omega \in \Omega :X(\omega)=a\}$ de $\Omega$, solo ese único valor de $a$ es utilizado.