¿Cómo uno demostrar el principio de inducción matemática usando los axiomas estándar de $\sf ZFC $?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Git Gud
Puntos
26292
Es suficiente como para considerar la $\sf Z$.
No sé de cuántas maneras se suelen utilizar para definir los naturales, que aquí es el que yo conozco.
Deje $I$ ser un conjunto inductivo. Tal sistema existe porque el Axioma de Infinitud, (que es un $\sf Z$ axioma).
Ahora, por la separación (que a su vez es una $\sf Z$ axioma), considerar el conjunto $\{x\in I\colon \forall X(X \text{ is inductive}\longrightarrow x\in X)\}$.
Definir $\Bbb N$ como el anterior conjunto, ($\sf Z$ axioma Axioma de Extensionality dice que solo hay un conjunto).
Ahora considere esta formulación del principio de inducción matemática, (cualquier otro común puede ser fácilmente demostrado ser equivalentes):
$$\forall X\in \mathcal P(\Bbb N)\color{green}(0\in X\,\land \color{red}(\forall n\in \Bbb N\color{blue}(n\in X\to S(n)\in X\color{blue})\to X=\Bbb N\color{red})\color{green}).$$
Es una consecuencia de esta definición misma de $\Bbb N$ que la declaración es verdadera.
Arash
Puntos
6587
Una manera es la siguiente. El principio de inducción se utiliza para definir $\mathbb{Z}_+$. Primero, el conjunto de los números reales se define como un Campo con el fin de la propiedad y menos el límite superior de la propiedad. A continuación, el conjunto inductivo $S$ se define como un conjunto que contenga $1$ e si $x\in S$$x+1\in S$. El conjunto de todos los conjuntos inductivos se denota por a $\mathcal{S}$. A continuación, los números positivos se define como: $$ \mathbb{Z}_+=\bigcap_{S\in\mathcal{S}}S $$ Entonces Bien Ordenamiento de la propiedad para cada subconjunto de $\mathbb{Z}_+$ está demostrado y, finalmente, un Fuerte Principio de la Inducción está demostrado que el uso de. Aquí el principio de la inducción es considerado como un axioma y, a continuación, fuerte principio de la inducción está probado.
La otra forma es definir los Números Naturales directamente por $0=\emptyset$, $1=\{\emptyset\}$, $2=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$,.... A continuación, usando el Axioma de Infinitud podemos tener la existencia de un conjunto de números naturales.
En cualquier caso, el ordenamiento de la propiedad es necesaria para la prueba.
Para probar Fuerte principio de la inducción, se puede considerar un conjunto de todos los $n$, por lo que "la declaración" no se sostiene. El conjunto tiene el mínimo por Pedido de la Propiedad, llamado $m>1$. Por lo tanto, "la declaración" es cierto para $m-1$, y en uno de los supuestos de inducción será cierto para $m$ demasiado lo que contradice la suposición de que "la declaración" no se sostiene por $m$.
Esta es la idea general detrás de la prueba. Declaración Formal de la prueba y definiciones sigue la misma idea y depende de cómo los teoremas y definiciones que se han desarrollado.
