¿Cuando es proyectivo $\mathrm{Proj}(A)$?

Question

Consideramos que el esquema de $P:=\mathrm{Proj}(S)$ de un conmutativa, (nonnegatively) se clasifican, finitely generadas $\mathbb C$-álgebra $S$ sin nilpotents.

(Q1) Cuando es $P$ una variedad proyectiva?

Ya tenemos un proyectiva mapa $P \to \mathrm{Spec}(S_0)$, $P$ es proyectivo si $S_0=\mathbb C$. Pero la dirección opuesta es demasiado difícil para mí. (No tengo ni una prueba, ni un contraejemplo.)

(Q2) Es $P$ siempre cuasi-proyectiva?

Los ejemplos que conozco son siempre cuasi-proyectiva, por lo que sospecho que $P$ siempre es cuasi-proyectiva, pero no puedo encontrar ninguna referencias pertinentes.

EDITAR (Un ejemplo de no-proyectiva $P$)

Deje $G = \lbrace \mathrm{diag}(t,t^{-1},u) \in GL_3(\mathbb C) | t \in \mathbb C^*, u = \pm 1 \rbrace$ actuar en $\mathbb C^3$ y definir un personaje de $G$$\chi(t,t^{-1},u)=tu$. El carácter que define a una $G$-equivariant línea budle $L \to \mathbb C^3$. Poner $$S_* = \bigoplus_{d\geq0}H^0(\mathbb C^3,L^{\otimes d})^G.$$ We can show that $S_*$ is a finitely generated $\mathbb C$-álgebra (por ejemplo, Lema 14.1.10) y $$S_{2*} = \bigoplus_{d} S_{2d} = \mathbb C[xy,z^2][x^2].$$ Por lo tanto $$\mathrm{Proj}(S_*) = \mathrm{Proj}(S_{2*}) = \mathrm{Proj}(\mathbb C[xy,z^2][x^2]) = \mathrm{Spec}(\mathbb C[xy,z^2]) \times \mathbb P^0 = \mathbb C^2.$$

Nota: en Este ejemplo se puede encontrar el libro enlazado más arriba (en el Cap. 14).

Answer 1

Esta respuesta a su pregunta sólo parcialmente.

Deje $S=\oplus_{n=0}^\infty S_n$ ser un finitely generado graduales $\mathbb{C}$-álgebra y considerar el graduado $\mathbb{C}$-álgebra $S'$ definido por $S_0'=\mathbb{C}$$S_n'=S_n$$n>0$. Entonces existe un isomorfismo de $\mathbb{C}$-esquemas $\operatorname{Proj}(S)\cong\operatorname{Proj}(S')$ (EGA II, 2.4.8). Por lo tanto, si $S'$ es finitely generadas $\mathbb{C}$-álgebra, a continuación, $\operatorname{Proj}(S)$ es proyectiva.

Sin embargo, la condición en $S'$ de finitely que genera no es necesario porque de lo siguiente: Para $d>0$, vamos a $S'^{(d)}$ ser el graduado $\mathbb{C}$-álgebra definida por $S'^{(d)}_n=S'_{nd}$$n\geq 0$. Entonces existe un isomorfismo de $\mathbb{C}$-esquemas $\operatorname{Proj}(S')\cong\operatorname{Proj}(S'^{(d)})$ (EGA II, 2.4.7).

Entonces podemos concluir que si por alguna $d>0$ $\mathbb{C}$- álgebra $S'^{(d)}$ es finitely generado, a continuación, $\operatorname{Proj}(S)$ es una variedad proyectiva.

Para un ejemplo en donde la $\operatorname{Proj}(S)$ no es una variedad proyectiva, me gustaría probar con $S=\mathbb{C}[X][Y]=\oplus_{n=0}^\infty \mathbb{C}[X]Y^n$. No es que en este caso ninguno de los $S'^{(d)}$ son finitely generado. No estoy seguro de si funcionará.