Problema con unidades de campo

Question

Edit:hubo varios errores importantes por mi parte este post, la mayoría de los cuales han sido contabilizados.Ahora, después de la edición de estas, el post me parece que no tienen ningún propósito en absoluto.Sin embargo, se siente mal para eliminarlo, así que voy a dejarlo como está.

Considere la posibilidad de la división de campo de la $$x^3-2$$ which is $$K=Q(\alpha,\omega),$$ where alpha is the real cube root of 2 and omega is a primitive third root of unity.One can check that in fact $$K=Q(\alpha+\omega).$$ The galois group of K over Q is isomorphic to $$Z_2\times Z_3$$ y es abelian, así que , por la de Kronecker-Weber teorema, se encuentra en un cyclotomic campo, el más pequeño de los que depende el conductor de K.EDITAREsto en realidad es incorrecta, el grupo de galois de esta extensión es nonabelian, así K no se encuentran en un cyclotomic campo.

Yo estaba tratando de resolver $$a^3+2b^3+4c^3=1$$ in integers, which is the norm of an element of the form $$a+b\alpha+c\alpha^2.$$EDIT The norm is actually $$a^3+2b^3+4c^3-6abc$$Let $$O_K$$ be the ring of integers, so $$Z(\alpha,\omega)$$ está contenida en it.By Dirichlet de la unidad de teorema, el anillo de enteros es generado por 2 elementos.EDITAR las unidades fundamentales se pueden encontrar aquí:http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/gradnumthy/unittheorem.pdf

La ecuación de diophantine parece tener un montón de soluciones:(1,0,0),(5,-4,1),(-1,1,0) etc.Así que para resolver este problema, tenemos que ver cuando un elemento de la forma anterior es un producto de potencias de las dos unidades.Pero las unidades fundamentales mirada aterradora, así que tal vez esto no sea muy fructífero proceso.

También, si alguien me puede decir cual es el verdadero anillo de enteros es, que sería realmente útil.

Answer 1

El grupo de Galois de la extensión no es $Z_2\times Z_3$. Este grupo es cíclico si el fin de $6$, pero a medida que el grupo de Galois de un polinomio cúbico, debe ser un subgrupo de $S_3$, que no lo es.

De hecho, el grupo de Galois es $S_3$, que no es abelian. Este es inmediata a partir del hecho de que $G$ debe ser un subgrupo de $S_3$ orden $6$. Para ver de forma explícita, se observa que es generado por los automorfismos $$\sigma :\sqrt[3]2\mapsto \omega \sqrt[3]2\\\tau:\omega\mapsto \overline \omega=\omega^2$$

y la rutina de comprobación muestra que este grupo es, de hecho, isomorfo a $S_3$.

Por otra parte, Dirichlets unidad teorema nos dice que el libre parte del grupo de unidades de $\mathcal O_K^*$ tiene un generador como un grupo multiplicativo. Esto no quiere decir que $\mathcal O_K$ tiene un generador como un polinomio anillo de más de $\mathbb Z$.

Answer 2

Apenas una respuesta, pero una fácil ver la unidad en $\Bbb Q(\sqrt[3]2\,)$ $\alpha-1$ en su notación, y es difícil imaginar otra unidad más cerca de la identidad (en el único real de la incrustación de ese campo), aunque no estoy lo suficientemente capacitado para decir que es una unidad fundamental.

Para el campo completo $K$, de las cuales tres no equivalentes complejo de incrustaciones, dos, obviamente, independiente de las unidades de se $\alpha-1$$\omega\alpha-1$. De nuevo, no voy a ser tan erupción como para decir que sé que constituyen una base. La verdad en estos temas puede verse fácilmente, sin embargo.