Supongamos que es $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que $f(x) \leq 0$y $f''(x) \geq 0, \forall x.$ prueba $f$ es constante.

Question

Supongamos $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es tal que $f(x) \leq 0$ $f''(x) \geq 0, \forall x.$ Probar $f$ es constante.

Puedo verificar si mi prueba es correcta? Gracias.

Prueba: $f'' \geq 0 \implies$$f'$ es cada vez mayor en $\mathbb{R} \implies$ existe intervalo de $[a,b]$ que $f$ es monótono. Suponga $f'(x) \geq 0, \forall x \in [a,b]---(*)$

Deje $c>b.$ Por medio del teorema del Valor, $\dfrac{f(c)-f(b)}{c-b}= f'(d) \geq 0,$ algunos $d \in (b,c). $ $f(c) \geq f(b).$ Aplicar argumento similar para deducir que $f(x) \geq f(y),$ siempre $x,y \geq b$ $x\geq y.$

Desde $f'(b) \geq 0,$ si $f'$ es estrictamente creciente en a $(b, \infty)$ , esto significa $\lim_{x \to \infty}f(x)= \infty$ y contradice $f(x) \leq 0, \forall x.$ por lo tanto, $f'(x) =0, \forall x > b$ y $(*)$, debemos tener $f'(x) = 0, \forall x \geq a.$

Considere la posibilidad de $g(x)=-f(x),$ $g'$ es la disminución en el $\mathbb{R}$ $g'(x) \geq 0, \forall x <a.$ Por similar argumento anterior, debemos tener $g'(x)=0, \forall x <a.$

Answer 1

Creo que la idea principal es correcta, aunque no hay necesidad de intervalos monótonos o el teorema del valor medio.

Como bien dices, $f'$ va en aumento. Así que Supongamos que $f'(k)=c>0$ $k$. Entonces para $x>k$ $$f(x) = f(k) + \int_k^x f' \geq f(k) + \int_k^x c = f(k)+(x-k)c$ $ y $$\lim_{x\to\infty} f(x) = \infty>0,$ $ una contradicción. Del mismo modo si $f'(k)=c<0$ $k$, % para $x<k$ $$f(x) = f(k)+\int_k^x f' = f(k)-\int_x^k f'(x) \geq f(k)-(k-x)c$ $y $$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \infty > 0.$ $así que debemos tenemos que $f'(x) = 0$ % todos $x$.