¿Cómo encontrar $\sum n^3$ si se da $\sum n^2$?

Question

Problema:

Encuentra $\sum_{j=1}^n j^3$ si $\sum_{j=1}^n j^2 =2870$

¿Podemos usar el siguiente método:

$\sum_{j=1}^n j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ = 2870..

(Ya que la suma del cuadrado de los primeros n números naturales es $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$)

Pero ¿cómo procedemos a partir de aquí para obtener el resultado?

Answer 1

Tenga en cuenta que $n(n+1)(2n+1)=2n(n+1)(n+1/2)$. Si dejamos $m=n+1/2$, obtenemos:

$$2780\cdot 3 = (m-1/2)(m+1/2)m = m^3-m/4$$ Así que queremos que $m$ sea un poco más que $\sqrt[3]{3\cdot 2780}$. Eso debería darte un candidato para $n$. Debes comprobar que este $n$ funcione.

Nota: El truco de $m$ es un poco de magia, pero sabemos que $n(n+1)(2n+1)$ crece "como" $2n^3$, por lo que incluso si no encuentras el truco de $m$, puedes suponer que estará cerca de $\sqrt[3]{3\cdot 2780}$. El truco de $m$ deja claro que si existe tal $n$, solo puede haber un valor.

Answer 2

Primero factorizamos $2870$: $$2870=(20\times 21\times 41)/6$$ Tenemos $$(k+1)^4-k^4= 4k^3+6k^2+4k+1$$ entonces $$\sum_{k=1}^{n=20}(k+1)^4-k^4=(21)^4-1=4\underbrace{\sum_{k=1}^{n=20} k^3}_{=S}+6\underbrace{\sum_{k=1}^{n=20}k^2}_{=2870}+4\underbrace{\sum_{k=1}^{n=20}k}_{=20\times21/2}+\underbrace{\sum_{k=1}^{n=20}1}_{=20}$$ y luego encontramos $S$.

Answer 3

Otra forma más: 1) usar el método de perturbación (ver Matemáticas Concretas y 2) resolver la ecuación que tienes para $n$.

La ecuación $2n^3+2n^2+n-6 \cdot 2870=0$ tiene solo 1 raíz real: $n=20$. Ahora usa el método de perturbación, denota $S_n=\sum_{k=1}^{n}k^4$ y $S^{\ast}_n=\sum_{k=1}^{n}k^3$ $$ S_n +(n+1)^4=\sum_{k=1}^{n}(k+1)^4+1=S_n+4 \sum_{k=1}^{n}k^3+6 \sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+n+1 $$ Aquí $S_n$ se cancela, tienes el valor de $\sum_{k=1}^{n}k^2$, a partir del cual también puedes encontrar el valor de $\sum_{k=1}^nk$ (es 210), por lo que puedes encontrar fácilmente el valor de $S^{\ast}_n$.