Problema de Hardy ' s _Pure Mathematics_

Question

Si $a$, $b$, $x$, $y$ es números racionales tales que

$$(ay-bx)^2+4(a-x)(b-y) = 0 $$

a continuación, ya sea (i) $x = a, y = b$o (ii) $1-ab$ y $1-xy$ son cuadrados de números racionales. (Matemáticas. Viaje. 1903)

(De varios ejemplos en capítulo I, 21)

¿Necesito aprender alguna teoría número primero?

Por cierto, saber que $(ay-bx)^2+4(a-x)(b-y) = (ay+bx-2)^2-4(1-ab)(1-xy)$, sólo no sé cómo continuar.

Answer 1

Creo que una solución se da en el libro de Hardy. De todos modos, he encontrado esto en http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/acm1516.0001.001/40?q1=continuous

Si escribimos $a-x=\xi$, $b-y=\eta$, obtenemos $$a^2\eta^2+b^2\xi^2+(4-2ab)\xi\eta=0$$ Solving this equation for the ratio $ \xi/\eta$ we find that $\xi/\eta$ (which we know to be rational) involves the quantity $$\sqrt{(2-ab)^2-a^2b^2}=2\sqrt{1-ab}$$ Hence $1-ab$ must be the square of a rational quantity. The only alternative is $\xi=\eta=0$.

Pero también se puede escribir la ecuación dada en la forma $$x^2\eta^2+y^2\xi^2+(4-2xy)\eta\xi=0$$ Hence we deduce the same conclusion for $ \sqrt{1-xy}$.

Answer 2

Tienes %#% $ #%

En la expansión, obtendrá %#% $ #%

Esta es una cuadrática en $$(ay-bx)^2 +4(a-x)(b-y)=0$. El disriminant debe ser un cuadrado de un número racional. El discriminante se simplifica a $$a^2 y^2 + y(4x-4a-2abx)+(b^2x^2+4ab-4bx)=0$ $

El trabajo:

$y$$$16(1-ab)(x-a)^2$$$(4x-4a-2abx)^2 -4a^2(b^2x^2+4ab-4bx)$$ $ 16$=16x^2 +16a^2 +4a^2b^2x^2-32ax+16a^2bx-16abx^2-4a^2b^2x^2-16a^3b+16a^2bx$$ Taking $$ common, we get $% $ $16[(x-a)^2-ab(x-a)^2]$

Claramente, o $ $, o $=16(x-a)^2(1-ab)$ es el cuadrado de un número racional.

Del mismo modo, la expresión original se puede hacer en una cuadrática en $x=a$ a $(1-ab)$ $ como el discriminante.