Evaluar $\int_{-1}^{1} \frac{x^3\,e^{\sin \left( \cos \left( x \right) \right)}+1}{x^2+1}\mathrm{d}x$

Question

$$\int_{-1}^{1} \frac{x^3\,e^{\sin \left( \cos \left( x \right) \right)}+1}{x^2+1}\mathrm{d}x$$

$\cos x$ es una función par, $\sin(even)$ es una composición de una función impar y una función par que es una función par.

$e^{x}$ no es ni par ni impar, por lo que la función $e^{\sin( \cos ( x ))}$ es incluso, ahora $x^3\,e^{\sin \left( \cos \left( x \right) \right)}$ es un producto de una función par e impar por lo que es impar.

En general, tenemos $\int_{-1}^{1} \frac{odd+1}{even+1}$

¿Qué podemos decir sobre $\int_{-1}^{1} \frac{odd+1}{even+1}=\int_{-1}^{1} \frac{odd}{even}$ ?

Answer 1

$I=\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x^3\,e^{\sin \left( \cos \left( x \right) \right)}+1}{x^2+1}\,dx$

$=\displaystyle\int_0^1\left (\frac{x^3\,e^{\sin \left( \cos \left( x \right)) \right)}+1}{x^2+1}+\frac{-x^3\,e^{\sin \left( \cos \left( x \right) \right)}+1}{x^2+1}\right )\,dx$ $\quad (*)$

$=\displaystyle\int_0^1 \frac{2}{x^2+1}\,dx=\frac{\pi}{2}$

---

$(*)\to \quad \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\int_0^a (f(x)+f(-x))\,dx$

(Simplemente escriba $\int_{-a}^{a}f=\int_{-a}^0f+\int_0^af$ y luego sustituir $x=-t$ en la 1ª integral).

Answer 2

$I=\int_{-1}^1 f(x) dx=\int_{-1}^1 f(-x) dx$ se mantiene (sustitución $x\to -x$ ).

Por lo tanto, $$2I=\int_{-1}^1 (f(x)+f(-x)) dx=\int_{-1}^1 \frac{2}{x^2+1} dx=2\arctan{x}|_{-1}^1,$$ $$I=\arctan{x}|_{-1}^1=\frac{\pi}{2}.$$

Answer 3

impar + 1 no es impar. $\operatorname{id} (x)=x$ es impar, pero $x+1$ no lo es.