¿Por qué un sistema intenta minimizar la energía potencial?

Question

En los problemas de mecánica, especialmente en los unidimensionales, se habla de cómo una partícula va en una dirección para minimizar la energía potencial. Esto es fácil de ver cuando utilizamos coordenadas cartesianas: Por ejemplo, $-\frac{dU}{dx}=F$ (o en el caso multidimensional, el gradiente), por lo que la fuerza irá en la dirección de minimizar la energía potencial.

Sin embargo, resulta menos claro en otros casos. Por ejemplo, leí un problema que implicaba una bola unida a un pivote, por lo que sólo podía girar. Se afirmaba entonces que la bola giraría hacia una energía potencial mínima, sin embargo $-\frac{dU}{d\theta} \neq F$ ¡! Creo que en este caso podría ser igual al par, lo que haría que su razonamiento fuera correcto, pero parece que independientemente de los grados de libertad del problema, siempre se asume que las fuerzas actúan de forma que la energía potencial se minimiza. ¿Podría alguien dar una buena explicación de por qué esto es así?

Editar: Debo señalar que escribí esto en google y encontré esto página. donde se afirma que la minimización de la energía potencial y el aumento del calor aumentan la entropía. Por un lado, esto no es realmente una explicación porque no dice por qué aumenta la entropía. Además, si es posible, me gustaría una explicación que no implique entropía. Pero si es imposible hacer un argumento riguroso que no involucre la entropía, entonces usar la entropía está bien.

Como nota al margen, ¿cómo se relaciona esto con el Principio de Hamilton?

Answer 1

Se trata de una justificación física más que matemática: ¡ignora mi respuesta si no es lo que querías!

Todos los sistemas tienen algo de movimiento térmico, por lo que exploran el espacio de fase en su vecindad inmediata. Si hay un punto cercano con una energía libre inferior en alguna cantidad $\Delta G$ entonces la probabilidad relativa de encontrar el sistema en ese punto será $\exp(-\Delta G/RT)$ . Por lo tanto, si la energía se minimiza moviéndose a ese punto, es decir $\Delta G < 0$ Sólo tenemos que esperar y encontraremos que el sistema se ha movido allí. El único lugar en el espacio de fase en el que el sistema no se mueve es cuando la energía libre está en un mínimo (local). Por eso un sistema siempre minimiza (localmente) su energía libre si se espera lo suficiente.

Answer 2

Fíjate en el título del enlace que das :

Energía potencial total mínima principio

Las negritas son mías.

La única respuesta a las preguntas "por qué" sobre los principios de la física es "porque se ha descubierto que los modelos teóricos que dependen de ella describen todos los datos conocidos y pueden predecir otros nuevos".

Las preguntas de por qué en física, cuando chocan con los postulados y las leyes, es como preguntar el por qué de un axioma en matemáticas. Los principios forman parte de la definición de la teoría, y las teorías de la física se establecen cuando son validadas continuamente por los datos.

No se puede explicar este principio sino atribuyéndolo a las observaciones que nos obligaron a utilizarlo de forma axiomática.

Answer 3

La pregunta sobre la minimización de la energía potencial y las respuestas de que tales preguntas no tienen mucho sentido es una conversación típica entre un físico y un matemático:

Físico: - ¿Por qué los sistemas tienden a minimizar la energía potencial?

Matemático: - Mira a tu alrededor, muchas cosas siguen este principio: energía potencial, entropía...

Físico: - Vale, ya lo veo, y por eso lo pregunto. ¿Por qué? ¿Por qué un número más bajo es mejor? ¿Qué tiene de especial? ¿Por qué no números más grandes?

Matemático: - No hagas esas preguntas. Esto se ha demostrado mediante experimentos. Sólo debemos aceptarlo como un hecho, como un axioma. Y los axiomas simplemente lo son. Así que no te pongas metafísico.

... y aquí es donde el pobre físico inquisitivo deja de preguntarse si quiere seguir su carrera, ya que la etiqueta de "filósofo" podría no ser muy útil ...

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Bueno... el misterio de la tendencia a minimizar la energía potencial se evapora rápidamente en cuanto te haces otras preguntas: ¿De dónde procede esta energía potencial? ¿Qué representa? ¿Cuál es la fuente/causa subyacente?

En el caso de la bola que rueda por la pendiente la respuesta es obvia. La causa es la gravedad. Los cuerpos masivos simplemente atraen a todos los demás cuerpos masivos a su alrededor, y como el potencial gravitatorio se define en términos de distancia a la fuente (centro) de gravitación, entonces obviamente la pelota que se mueve hacia el centro de gravedad está minimizando su potencial. Así que la pregunta importante aquí es: ¿qué es más fundamental, la gravedad o el potencial gravitatorio? ¿Es el axioma de la minimización del potencial una respuesta última? ¿O la causa última? En el caso de la gravedad, el potencial sólo indica en cierto modo la distancia a la que se encuentran los cuerpos que se atraen y, por tanto, si la fuerza puede producir algún movimiento (y cuánto de este movimiento) o no. Un potencial mínimo significa que no es posible ningún movimiento debido a la fuerza; un potencial máximo significa que es posible (mucho) movimiento. Y la fuente del movimiento es la fuerza, no el potencial. Y el movimiento causado por la fuerza sólo puede ir de números más grandes (distancia) a números más pequeños. Así es como funciona: la fuerza atrae las cosas, por lo que la distancia se hace más pequeña. Y así es como se ha definido realmente el potencial. Por lo tanto, la respuesta no es que la Naturaleza (por algunas razones metafísicas) haya desarrollado un gusto por los números pequeños. Es más bien que la Naturaleza proporciona esta fuerza de atracción tan fundamental -llamada gravitación- que hace que la materia "se junte". Y la tendencia a bajar el potencial es una forma de decir que la fuerza de atracción hace que los cuerpos se junten y, por tanto, que disminuya la distancia entre ellos.

Para resumir nuestro caso de gravedad: La tendencia de un sistema a minimizar la energía potencial es el resultado de una fuerza subyacente que tira de un cuerpo hacia su fuente. (o empujando un cuerpo, si la naturaleza de la fuerza es repulsiva). El resultado es la minimización de la distancia y, por tanto, la minimización de la energía potencial. Así que más energía potencial equivale a más movimiento potencial, y menos energía potencial equivale a menos movimiento potencial. (Obviamente, si los dos cuerpos que se atraen ya están juntos, la fuerza no es capaz de producir ningún movimiento, por lo que la energía potencial es nula).

Ahora bien, este razonamiento es igualmente válido para la energía potencial eléctrica o la energía potencial elástica. En todos estos casos hay una fuerza subyacente que hace que la materia se mueva. Así que si la naturaleza de la fuerza es atractiva, la energía potencial relacionada crece con la distancia, lo que representa el movimiento potencial que estas fuerzas pueden producir.

Así que tenías toda la razón al preguntar "por qué" sobre este axioma. Así es más probable que obtengas respuestas más profundas que te lleven a fenómenos más fundamentales y, en última instancia, a comprender mejor la Naturaleza. Probablemente hay un límite para entender por qué las cosas son como son, pero la tendencia a minimizar la energía potencial no es ciertamente la causa última.

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Por cierto, dijiste que preferías no obtener la respuesta en términos de entropía. Tenías razón, porque la entropía no es realmente necesaria para encontrar la respuesta sobre el potencial. Sin embargo, el caso de la pelota nos muestra una cosa muy interesante: la gravedad y la entropía son dos fenómenos básicos opuestos. La gravedad contrarresta la entropía. La gravedad atrae a las moléculas, mientras que la entropía hace que se alejen. Es más fácil entender esto después de aclarar y desmitificar el término "entropía". La entropía es simplemente el fenómeno asociado al movimiento de las moléculas (o partículas). Las moléculas con mayor energía, es decir, que se mueven más rápido, tienden a desplazarse a regiones donde hay más moléculas con menor energía, es decir, que se mueven más lentamente. ¿Por qué? Claro que se puede preguntar por qué, esto tampoco es un axioma final o metafísico. Simplemente porque las moléculas que se mueven más rápido tienen más probabilidades de chocar entre sí cuando se agrupan. Pero es menos probable que choquen con las que se mueven más lentamente. La consecuencia es que las moléculas que se mueven rápido se restringen entre sí, ya que chocan más a menudo. Por lo tanto, las moléculas que se mueven rápido penetrarán más a menudo en zonas donde hay muchas partículas que se mueven más lentamente. En cualquier periodo de tiempo, las más lentas "ocupan" menos espacio, dejando así más espacio para que las rápidas se muevan (en un determinado $\Delta t$ necesaria para que una molécula rápida viaje $\Delta x$ que equivale a su tamaño, una partícula más lenta recorrerá menos distancia que una más rápida). Y cuando las moléculas más rápidas se mezclan con las más lentas, ceden parte de su velocidad (energía) a las que se mueven más lentamente (mediante colisiones, que también se producen aunque con menor frecuencia). De este modo, el sistema pasa de una "mayor entropía" a una "menor entropía". Pero esto ocurre no porque a la Naturaleza le gusten más los números pequeños, como puedes ver. Se puede explicar perfectamente de forma mecánica sin asumir axiomas.

Answer 4

Como dijo anna v, los principios son como los axiomas matemáticos. Un principio es correcto si las leyes de la física que pueden derivarse de él describen correctamente todos los datos experimentales. Algunas personas eligen las leyes de Newton como base de la mecánica. Algunos eligen el principio de mínima acción (también conocido como principio de Hamilton).

Puedes derivar el principio de mínima acción de las leyes de Newton. Estas Conferencias sobre dinámica clásica hacerlo en unas pocas páginas condensadas en el capítulo 2.

El principio de mínima acción describe el movimiento de una partícula en términos de trayectorias. Una trayectoria comienza en una posición y un momento, y termina en otro. La trayectoria describe la posición de la partícula en función del tiempo. Esto significa que la trayectoria también describe la velocidad y el momento de la partícula.

Muchos caminos conectan el inicio y el final. El principio de mínima acción te dice cómo encontrar el único camino para el que las Leyes de Newton se cumplen en cada punto.

El principio de mínima acción puede generalizarse para cubrir todas las leyes de la física.

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Puede que el capítulo 1 de las Conferencias le resulte relevante. En él se habla de la energía y se derivan las leyes de conservación para sistemas de una y varias partículas.

Una partícula no siempre va en la dirección que minimiza la energía potencial. Para una masa y un muelle, la energía potencial sube y baja. Para un planeta en una órbita circular, se mantiene constante.

Es cierto que la fuerza apunta en la dirección que minimiza la energía potencial. Esto se deduce inmediatamente de la definición de energía potencial.

Las fuerzas sobre una partícula suelen ser puramente una función de la posición de la partícula, no de la velocidad de la misma. En este caso, hay otra forma de describir la fuerza. Se puede definir una cantidad $U$ que depende sólo de la posición, donde $U = - \bigtriangledown F$ . $U$ es la energía potencial.

La razón para definir $U$ es que es útil. Puede mostrar $U + T$ se conserva. Dado $T$ en una posición, se puede utilizar la ley de conservación para calcular $T$ en cualquier otra posición sin tener que conocer todas las fuerzas intermedias.

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La entropía se utiliza cuando tienes tantas partículas que no puedes seguirlas todas. Hay que recurrir a las propiedades que resumen el movimiento.

Por ejemplo, la temperatura resume la energía cinética media en vibraciones internas de las partículas que componen un cuerpo rígido.

Answer 5

Tenemos que separar dos cosas aquí:

• La fuerza hace no minimizar la energía potencial. Más bien se podría decir, "ajusta el momento de tal manera que la energía potencial no puede subir indefinidamente".
  Por cierto, la forma en que esto funciona (soluciones oscilatorias de ecuaciones diferenciales de 2º orden) tiende para que el sistema vuelva siempre a un estado de baja energía potencial, pero esto no es realmente una necesidad (pensemos en el sistema solar, donde la energía potencial de los planetas permanece más o menos constante).

• El principio de energía potencial mínima es otra cuestión. Supone que hay una gran cantidad de microscópico grados de libertad (rotación y vibración molecular, ondas de electrones, etc.); estos son siempre necesarios para que funcionen las fuerzas de fricción.
  En pocas palabras, esta ley es sólo la teorema de equiparación Si ponemos algo de energía en los grados de libertad macroscópicos del sistema, con el tiempo esa energía se "filtrará" a los grados microscópicos hasta que cada grado tenga de media la misma energía (muy pequeña). Como hay muchos más grados microscópicos que macroscópicos, pero son "invisibles", parecerá que la energía potencial disminuye.