Probabilidad de cada cara de un dado del balanceo por lo menos una vez en una secuencia de N lanza.

Question

Que usted tiene un dado con caras de $k$ (cada cara tiene un % de probabilidad $1/k$).

Usted lanzar este die $n$ veces.

¿Cuál es la probabilidad de tener cada sola cara que muestra al menos una vez en esa secuencia?

Answer 1

Imagina lanzar de forma secuencial. Hay, a continuación, $k^n$ resultados equiprobables.

Ahora contamos con el favourables, en el que cada cara aparece al menos una vez. Este es un negocio sucio, por que no hay forma cerrada a menos que el uso de los Números de Stirling del Segundo Tipo (por favor, ver Wikipedia). Deje $n\ge k$.

Que nos permiten contar los malos resultados, en los que al menos una de ellas es la que falta. Hay $(k-1)^n$ resultados en los que se Enfrentan $1$ falta, y el mismo número donde se Enfrentan $2$ falta, para un total de $k(k-1)^n$.

Sin embargo, esta doble cuenta los casos en los que las dos caras son las que faltan. Que dos caras de falta puede ser elegido en $\binom{k}{2}$ formas y, a continuación, el resto de las caras puede ser rellenado en $(k-2)^n$ maneras.

Así que nuestra nueva estimación para el número de malas decisiones es $k(k-1)^n-\binom{k}{2}(k-2)^n$.

Sin embargo, hemos restado demasiado, porque hemos restado uno muchas veces los resultados donde $3$ caras que faltan. Hay $(k-3)^n$ resultados donde tres caras (al menos) faltan. Agregar por todas las $\binom{k}{3}$ formas de elegir los tres espacios específicos. Que le da una nueva estimación de $k(k-1)^n-\binom{k}{2}(k-2)^n+\binom{k}{3}(k-3)^n$.

De continuar.

Answer 2

La prueba de que el PASTEL argumento de los rendimientos de los números de Stirling veces $k!$ es decir, que $$\sum_{q=0}^k {k\elegir q} (-1)^q (k-q)^N = {N\llave k} \times k!$$ utiliza la integral $$(k-q)^N = \frac{N!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{N+1}} \exp((k-q)z) \; dz$$ que se da por la suma $$\frac{N!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{N+1}} \sum_{q=0}^k {k\elegir q} (-1)^q \exp((k-q)z) \; dz \\ = \frac{N!}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{N+1}} (\exp(z)-1)^k \; dz.$$

Sin embargo, esto es precisamente $${N\brace k}\times k!$$ debido a que los números de Stirling del segundo tipo son las especies $$\mathfrak{P}(\mathcal{U}(\mathfrak{P}_{\ge 1}(\mathcal{Z}))$$ que los rendimientos de la generación de la función $$G(z,u) = \exp(u(\exp(z)-1)).$$