Integrando$y'(x)y''(x)$ con respecto a$x$

Question

Estoy teniendo problemas con la integración de$y'y''$, porque puedo pensar en dos respuestas diferentes que me parecen correctas.

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

2)$$y''y' = y'' \frac{dy}{dx}$ $ So$$y''y'dx = y''dy $ $

Estas respuestas parecen muy diferentes, pero puedo averiguar qué es correcto (asumiendo que uno es) y por qué el otro sería incorrecto.

Answer 1

También puede ir por partes tomando ingenuamente su primera expresión: $$ \ int y '(x) y' '(x) dx = (y' (x)) ^ 2- \ int y '(x) y' ' (x) dx \ implica 2 \ int y '(x) y' '(x) dx = (y' (x) 1} {2} (y '(x)) ^ 2 c $$

Answer 2

¿Por qué el otro sería incorrecto?

Esto es porque $\int y''(x)~dy \neq y'(x)+C$. Sin embargo, es cierto que:$$\int y''(x)~dx=y'(x)+C$ $

---

¿Cual es correcta?

El segundo resultado que obtuviste es correcto (excepto que olvidaste la constante arbitraria). Uno puede fácilmente ver esto substituyendo:$$u=y'(x) \implies du=y''(x)~dx$ $ Esto da:$$\int u~du=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}(y'(x))^2+C$ $

Answer 3

Solo para añadir a la respuesta de projectilemotion, la integración por partes puede facilitar el cálculo. \begin{align*} \int y'(x)y''(x)dx = y'(x)^2+c - \int y''(x)y'(x) dx \end{align*}