¿Qué significa realmente "definir un campo" en la QFT?

Question

En primer lugar: ¿cómo se define un operador en un espacio de Hilbert? Esta es una pregunta matemática y la respuesta es simple: nosotros tienen un espacio de Hilbert a mano $\mathcal{H}$ , entonces definimos a función $A : D(A)\subset \mathcal{H}\to \mathcal{H}$ es decir lineal , $D(A)$ siendo su dominio.

Entonces debe definir la función. En otras palabras, debemos decir cómo $A$ actúa sobre $D(A)$ . Esto significa que debemos decir lo que $A|\psi\rangle$ es para cada $|\psi\rangle \in D(A)$ . Normalmente lo hacemos estableciendo un regla en términos de una $|\psi\rangle$ , tal vez utilizando una base, o a veces podemos hacerlo de manera indirecta.

En cuanto a la definición de una función, esto sucede en todo matemáticas: para definir una función, necesitamos un conjunto, y luego definimos la función sobre algún subconjunto de este conjunto. Por lo tanto, no es posible definir una función, a menos que sepamos de antemano (i) el conjunto $\mathcal{H}$ (ii) el dominio $D(f)\subset \mathcal{H}$ y (iii) el rango $\mathcal{H}'$ .

En el caso de los espacios de Hilbert, $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert conocido para el problema, $D(f)$ es el dominio del operador y $\mathcal{H}'=\mathcal{H}$ . Llamemos $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ el conjunto de todos los operadores del espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ .

Esto es sólo matemática. Ahora, si queremos definir un campo de operadores en el espaciotiempo ¿Qué necesitamos? Bueno, siguiendo esta lógica (que es la matemática estándar, no es nada del otro mundo ) necesitamos una función $\phi : M\to \mathcal{L}(\mathcal{H})$ . Pero, un momento, para construir esta función necesitamos decir cómo actúa. En otras palabras, para cada evento $x\in M$ nosotros debe decir lo que $\phi(x)$ es .

Bien, ¿entonces cómo decimos qué es $\phi(x)$ ? Es un operador en $\mathcal{H}$ . Por lo tanto, para definir $\phi(x)$ tenemos que decir cómo actúa en $\mathcal{H}$ en su dominio $D(\phi(x))$ . En otras palabras, tenemos que especificar para cada $x\in M$ qué es la acción $\phi(x)|\psi\rangle$ para cada $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ de lo contrario, no hemos definido $\phi$ en absoluto.

Se puede argumentar que los campos cuánticos deben ser vistos como distribuciones valoradas por operadores, aunque todavía no estoy seguro de que este sea el enfoque estándar, pero de todos modos, el problema permanece y es lo mismo. Para definir el campo cuántico $\phi(f)$ debemos decir cómo actúa $\phi(f)|\psi\rangle$ para cada función de prueba $f$ y cada $|\psi\rangle\in \mathcal{H}$ .

Y por supuesto, necesitamos $\mathcal{H}$ . Aunque esto es menos importante ya que todos los espacios de Hilbert de la misma dimensión son isomorfos. Por otro lado, definir verdaderamente $\phi$ es vital.

Ahora viene la pregunta: ¿qué hacen los físicos en la QFT? Eligen un campo escalar $\phi(x)$ y decir: "ok, ahora solo hacemos $\phi(x)$ se convierten en operadores que obedecen $[\phi(x),\pi(y)]=i\delta(x-y)$ y hemos terminado". ¡Se hace aún más! Uno escribe $\phi(x)$ en términos de otros operadores $a(p)$ que tampoco se conocen y están relacionadas con la relación de conmutación. Entonces te imaginas: "bien, el siguiente paso es naturalmente definir estos operadores" y no se hace nada todos los operadores se dejan sin definir con las relaciones de conmutación propuestas. ¿Cómo se pueden tener relaciones de conmutación y no tener los operadores?

En la mecánica cuántica puedo incluso aceptarlo. El espacio de estados $\mathcal{E}$ está ahí por postulado, los observables están ahí por postulado, y los asumimos todos (incluso podemos invocar el teorema de Stone-von Neumann si queremos ser más rigurosos). En la QFT tenemos un campo, por lo que necesitamos la dependencia funcional $\phi(x)$ y tampoco $x\mapsto \phi(x)$ ni $|\psi\rangle \mapsto \phi(x)|\psi\rangle$ se definen nunca.

En ese sentido estoy muy confundido. ¿Qué significa realmente para los físicos en el contexto de la QFT definir un campo ? ¿Cómo se puede trabajar con campos valorados por operadores (distribuciones) cuando sólo se dice que se cumplen las relaciones de conmutación sin definir nunca los campos y los operadores? ¿Qué es lo que realmente ocurre aquí?

Answer 1

No es necesario definir objetos si suponga que existen. Sé que parece una tontería, pero eso es lo que hacen los axiomas por nosotros: nos dan cosas sin necesidad de construirlas o justificarlas, tanto en matemáticas como en física. Básicamente, en la teoría cuántica de campos suponga que que se nos entregan los campos valorados por operadores que actúan en algún espacio de Hilbert. Son los dos primeros Axiomas de Wightman : Los estados son rayos en el espacio de Hilbert $H$ y un "campo" es una distribución con valores en el espacio de operadores sobre $H$ . No se sabe nada más en una QFT genérica - no podemos describir $H$ explícitamente, y la acción de los campos es igualmente misteriosa para nosotros en el caso general.

Se podría decir que eso es precisamente lo que hace que la QFT sea fundamentalmente más difícil que la mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad. Gracias a la Teorema de Stone-Von Neumann , sólo asumiendo que existen operadores $x,p$ cumpliendo las relaciones de conmutación canónicas en algunos nos permite saber que este espacio es unitariamente equivalente a $L^2(\mathbb{R}^n)$ y $x$ y $p$ actúan mi multiplicación y diferenciación, lo que significa que podemos ver los estados como funciones de onda, etc. La QM en un número finito de grados de libertad es hormigón en el sentido de que podemos escribir explícitamente el espacio de estados y los operadores que actúan sobre ellos. Pero no definir $x$ y $p$ actuar así a priori, es el teorema de SvN el que nos otorga el poder de hacerlo.

La axiomatización adecuada de esta actitud, es decir, asumir la existencia de "operadores" incorpóreos con relaciones de conmutación sin ningún espacio definido sobre el que actúan, es axiomatizar las teorías cuánticas como la teoría de ciertos funcionales lineales (estados, valores de expectativa) sobre $C^\ast$ -algebras . un resumen $C^\ast$ -Álgebra no actúa sobre nada y los estados no son más que funcionales lineales sobre ella que corresponden a la toma de valores de expectativa. Este es un punto de vista "intrínseco" de la mecánica cuántica, que asume nada más que la estructura de los operadores como un álgebra - no hay espacio de Hilbert, ni operadores que actúen sobre nada, nada, así que desde este punto de vista, la cuestión de cómo "definir" un campo cuántico parece una tontería - se escriben los generadores del álgebra y sus relaciones, y eso es todo (módulo que define la estructura de Banach en él). El contacto con el mundo más familiar de los espacios de Hilbert se realiza a través de la noción de $C^\ast$ -representaciones y, en particular, la Construcción de GNS .

En la QFT, es decir, en la mecánica cuántica con infinitos grados de libertad, carecemos del poder de Stone y von Neumann. Hay incontables representaciones unitariamente no equivalentes de la RCC (éste es un aspecto de Teorema de Haag ), por lo que no podemos escribir cualquier acción específica del campo en algún espacio específico simplemente asumiendo que el espacio y los campos existen. Así que construimos explícitamente el campo libre (que deberías ver como primero definiendo el $a_p,a_p^\dagger$ como los operadores de escalera en un espacio de Fock, y luego juntar el campo), y hacer trucos inteligentes para obtener de alguna manera el conocimiento de las teorías que interactúan a partir de esto, por ejemplo, a través de la fórmula LSZ, que realmente es la piedra angular del formalismo canónico de QFT.

Ahora bien, si te preocupa cómo los físicos "definen" los campos asociados a ciertos lagrangianos, entonces la fórmula de LSZ es lo más parecido a una respuesta: a través de LSZ, se obtienen todos los valores de expectativa del vacío o "funciones de Wightman", y el sentido de los axiomas de Wightman es precisamente que permiten que se cumpla el teorema de reconstrucción de Wightman que establece que las funciones de n puntos son suficientes para reconstruir los campos. Ahora bien, desgraciadamente las teorías físicas rara vez son teorías de Wightman, pero esta es la hoja de ruta de cómo se espera definir rigurosamente los campos cuánticos en el enfoque de Wightman.

Sin embargo, en la configuración abstracta, lo que hay que definir no son los campos como funciones en sí, sino su $C^\ast$ -Álgebra. Y dada una colección de campos clásicos y un lagrangiano, eso te da una noción de relaciones de conmutación tomando el CCR/CAR entre los campos y sus momentos canónicos, y por tanto un álgebra. Así que en el entorno abstracto no hay mucho que definir, después de todo, incluso en el caso de los campos cuánticos.