Estoy tratando de entender la página 161 de los "cuadros jóvenes" de Fulton en un ejemplo explícito.
Estoy mirando las banderas en $\mathbb{C}^4$ que considero como banderas en $\mathbb{CP}^3$ (y realmente sólo soy capaz de pensar en sus puntos reales). Denoto por $X$ el conjunto de todas esas banderas.
He fijado una bandera, que consiste en un punto $p$ contenida en una línea $l$ contenida en un plano $\pi$ , todo en $\mathbb{CP}^3$ . Corresponden a una bandera $F_1 \subset F_2 \subset F_3$ en $\mathbb{C}^4$ con $\dim(F_i) = i$ .
Ahora Fulton define una clase $x_1$ en $H^2(X)$ de la siguiente manera: $x_1 = -c_1(U)$ donde $U$ es el haz de líneas que al punto $E_1 \subset E_2 \subset E_3$ asociados $E_1$ .
Soy plenamente consciente de que existe una definición axiomática de las clases de Chern que cumple la mayor parte de lo que uno quiere utilizar, pero en este caso me interesa encontrar un representante explícito para este ciclo $x_1$ en $X$ .
La definición más concreta que he visto de una clase de Chern es la siguiente. Tomemos una sección cualquiera $X \to U$ y definir $c_1(U)$ es la clase de su lugar cero. Está bien definida como clase, al menos si hay secciones definidas globalmente en $X$ .
Aquí es donde estoy atascado - no estoy seguro de cómo produciría una sección explícita en este caso, y mucho menos entender su locus cero.
Por último, permítanme responder de forma preventiva a los algebristas empedernidos que espero que respondan en la línea de "lean este libro que contiene todas las definiciones rigurosas": Lo he hecho, pero todavía me resulta difícil producir ejemplos. La cuestión es encontrar un representante explícito (quizás incluso en coordenadas si no se puede describir intuitivamente (a la "mira todas las banderas cuya línea interseca $l$ de tal o cual manera").
