en primer lugar, debo pedir disculpas por algo engañoso título.
Para ahorrar y mi tiempo, voy a ir directo al punto.
Por definición, una integral indefinida, o una primitiva o antiderivada de una (alguna condición) la función $f(x)$ cualquier $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$. Todo bien y bueno.
Porque cualquier otra primitiva puede ser escrito como $F(x)+C$ para algunas constantes $C$ (y esto requiere una prueba), si vamos a denotar por $\int f(x)dx$ una antiderivada de $f(x)$, luego \begin{equation} \int f(x)dx = F(x)+C. \end{equation}
Bien. Pero aquí está la parte que cada libro de texto parece tener ningún problema con el, pero me molesta mucho: a Menudo se dice que integrar ambos lados de la ecuación siguiente: \begin{equation} f(x)=g(x),\end{equation}
para obtener \begin{equation} \int f(x)dx = \int g(x)dx. \end{equation}
Esto parece una ABSOLUTA tontería a ser por la siguiente razón: SI ambos lados de la ecuación anterior son VERDADERAMENTE iguales, entonces seguramente
\begin{equation} \int f(x)dx - \int g(x)dx =0. \end{equation}
Pero
\begin{equation} \int f(x)dx - \int g(x)dx =\int (f(x)-g(x))dx = \int 0dx, \end{equation}
que es igual a $C$, cualquier constante. Seguramente esto no es necesariamente 0!
Así que en resumen, esta es mi pregunta: ¿ES, ESTRICTAMENTE HABLANDO, LEGAL, PARA TOMAR LA ANTIDERIVADA DE AMBOS LADOS DE UNA ECUACIÓN?
