¿Qué procesos físicos pueden subyacer al término de colisión en la ecuación de Boltzmann y cómo aumentan la entropía?

Question

Considere las partículas que interactúan sólo por fuerzas de largo alcance (ley cuadrada inversa), ya sean atractivas o repulsivas. Me siento cómodo con la idea de que su comportamiento puede ser descrito por la ecuación de Boltzmann sin colisión, y que en ese caso la entropía, definida por la integral del espacio de fase $-\int f \log f \, d^3x \, d^3v$ no aumentará con el tiempo. Toda la información sobre la configuración inicial de las partículas se conserva a medida que el sistema evoluciona con el tiempo, aunque para un observador sea cada vez más difícil hacer mediciones para sondear esa información (amortiguación de Landau).

Pero después de un tiempo suficiente, la mayoría de los sistemas físicos se relajan hasta alcanzar una distribución de velocidad maxwelliana. La entropía del sistema aumentará para que se produzca esta relajación. Los libros de texto suelen explicar esta relajación mediante un término de colisión en la ecuación de Boltzmann ("las colisiones aumentan la entropía"). Se comenta de pasada que se está suponiendo un "caos molecular", o a veces un "caos molecular unilateral". Mi pregunta es, ¿en qué se diferencian las colisiones que subyacen al término añadido en la ecuación de Boltzmann de cualquier colisión bajo una ley cuadrada inversa, y por qué estas colisiones aumentan la entropía cuando está claro que las interacciones con una fuerza de ley cuadrada inversa no suelen aumentar la entropía (al menos en la escala de tiempo del amortiguamiento de Landau)? Y, por último, ¿hasta qué punto es válida la supuesta suposición de caos molecular?

EDIT: Debería aclarar que, si la entropía ha de aumentar, probablemente sea necesario invocar fuerzas adicionales de corto alcance además de las fuerzas de largo alcance de la ley cuadrada inversa. Supongo que podría reformular mi pregunta como "¿qué tipo de fuerzas de corto alcance son necesarias para explicar el término de colisión en la ecuación de Boltzmann, y cómo aumentan la entropía cuando las colisiones de la ley inversa al cuadrado no lo hacen?" Si la pregunta es demasiado abstracta tal y como está escrita, entonces siéntase libre de elegir un sistema físico concreto como un plasma o una galaxia y responda a la pregunta en términos de lo que ocurre allí.

Answer 1

La afirmación de que la entropía aumenta debido a las colisiones es incorrecta. La conservación del volumen del espacio de fase es un teorema de la mecánica hamiltoniana y, por tanto, se aplica a todos los sistemas físicos conocidos, independientemente de que contengan fuerzas no lineales, colisiones o cualquier otra cosa.

Lo que ocurre en realidad es que, aunque el volumen del espacio de fase no cambia a medida que se integran las trayectorias hacia delante, sí que se distorsiona, se aplasta y se repliega sobre sí mismo hasta que el sistema se vuelve experimentalmente indistinguible de uno con un volumen de espacio de fase mayor. La información que originalmente estaba en la distribución de la velocidad de las partículas termina en sutiles correlaciones entre los movimientos de las partículas, y si se ignoran esas correlaciones, es cuando se obtiene la distribución de Maxwell. El aumento de la entropía no es algo que ocurra en el nivel de la dinámica microscópica del sistema, sino que ocurre porque parte de la información que tenemos sobre las condiciones iniciales del sistema se vuelve irrelevante para hacer predicciones futuras, por lo que decidimos ignorarla.

Hay un excelente pasaje sobre esto (en un contexto ligeramente diferente) en este documento de Edwin Jaynes, que ofrece una crítica exhaustiva del tipo de explicación de los libros de texto que usted menciona. (Véanse las secciones 4, 5 y 6.) Explica las cuestiones relacionadas con esto de forma mucho más elocuente de lo que yo puedo hacerlo, así que le recomiendo encarecidamente que le eche un vistazo.

Answer 2

El aumento de entropía proviene de la suposición de que se puede cerrar el sistema en el nivel cinético, con lo que (i) se hace trazable la dinámica y se obtiene una ecuación de transporte, y (ii) se prescinde de las contribuciones de frecuencia extremadamente alta y se paga por ello con un aumento de entropía.

Cualquier interacción conduce a términos de colisión; los detalles sólo importan para la forma particular de la integral de colisión, pero no para su existencia.

Hay diferentes formas de obtener la ecuación de Boltzmann, pero todas comparten las características anteriores. La hipótesis del caos molecular sólo funciona para los gases ideales clásicos. Para una derivación moderna de las ecuaciones cinéticas y, en particular, de la ecuación de Boltzmann a partir de los principios fundamentales (es decir, la teoría cuántica de campos), véase

Yu. B. Ivanov, J. Knoll y D. N. Voskresensky, Self-Consistent Approximations to Non-Equilibrium Many-Body Theory, Nucl. Phys. A 657 (1999), 413--445. hep-ph/9807351

y otros documentos relacionados. Ver también Buena lectura sobre el formalismo de Keldysh

Edición: En un formalismo basado en operadores, la aproximación cinética obliga a la matriz de densidad a tomar la forma $e^{-S/k_B}$ , donde $S$ es un operador de 1 partícula. Esto elimina muchas (no todas) las contribuciones de alta frecuencia, ya que la dinámica exacta destruye esta forma, por lo que la aproximación debe proyectarla de nuevo instantáneamente. Para entender cómo funciona la proyección, véase el libro de Grabert sobre técnicas de operadores de proyección.

Calzetta hizo algunos trabajos sobre la teoría cinética en espacios curvos (buscar en el arXiv: http://lanl.arxiv.org ); tal vez esto esté más directamente relacionado con su pregunta.