$ \sin ^2(x)+ \cos ^2(x) = 1$ usando las series de energía

Question

En un ejemplo tuve que probar que $ \sin ^2(x)+ \cos ^2(x)=1$ lo cual es bastante fácil usando el círculo de la unidad. Mi maestro me pidió entonces que mostrara lo mismo usando las siguientes series de energía: $$ \sin (x)= \sum_ {k=0}^ \infty\frac {(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ y $$ \cos (x)= \sum_ {k=0}^ \infty\frac {(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$$ Sin embargo, si ahora tomo los cuadrados de estos valores obtengo un resultado realmente desordenado que no puedo simplificar a 1.

¿Alguien podría darme una pista de cómo tratar esta cuestión?

Answer 1

Una pista: Diferenciar $\cos^2x+\sin^2x$ y observe que se trata de $2\cos x\cos'x+2\sin x\sin'x$ . Evaluar las expresiones de $\sin'x$ y $\cos'x$ y observe que son los mismos que los de $\cos x$ y $-\sin x$ respectivamente. Entonces se obtiene $\big(\cos^2x+\sin^2x\big)'=0\iff\cos^2x+\sin^2x=$ constante. ¿Cómo podemos adivinar qué constante exactamente? Calculando $\sin^20+\cos^20$ .

Answer 2

Una pista: Diferencia la serie de potencias término a término. Obtenemos que (¡sorpresa!) la derivada de $\sin x$ es $\cos x$ y la derivada de $\cos x$ es $-\sin x$ . Sea $f(x)=\sin^2 x+\cos^2 x$ . Demuestre que su derivada es $0$ . Así, $f(x)$ es constante.

Answer 3

No es necesario utilizar las derivadas. Es mucho más sencillo si conectamos las series para $\sin x$ y $\cos x$ con la serie de $\exp(x)$ . A partir de la serie dada es fácil demostrar que $\cos x + i\sin x = \exp(ix)$ y $\cos x - i\sin x = \exp(-ix)$ donde $$\exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$$ y utilizando el teorema del binomio es fácil demostrar que las series de $\exp(z)$ satisface $$\exp(z + z') = \exp(z)\cdot \exp(z')$$ y por lo tanto $$\begin{aligned}\cos^{2}x + \sin^{2}x &= (\cos x + i\sin x)(\cos x - i\sin x)\\&= \exp(ix)\exp(-ix)\\&= \exp(0)\\&=1\end{aligned}$$

Answer 4

También se puede demostrar esta identidad directamente a partir de la serie de potencias $$ \begin{align} \cos x &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n},\\ \sin x &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n + 1}. \end{align} $$

Lo siguiente es una modificación de la discusión en el artículo de Wikipedia sobre el Identidad trigonométrica pitagórica .

Al cuadrar cada una de estas series utilizando la Producto Cauchy $$\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}\right) x^k\,,$$ y combinando los factoriales en un coeficiente binomial obtenemos $$\begin{align} \cos^2 x & = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i)!} \frac{(-1)^j}{(2j)!} x^{(2i) + (2j)} \\ & = \sum_{n = 0}^\infty \left(\sum_{i = 0}^n \frac{(-1)^n}{(2i)!(2(n - i))!}\right) x^{2n} \\ & = 1 + \sum_{n = 1}^\infty \left( \sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} \right) \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\,,\\ \sin^2 x & = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i + 1)!} \frac{(-1)^j}{(2j + 1)!} x^{(2i + 1) + (2j + 1)} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \left(\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(-1)^{n - 1}}{(2i + 1)!(2(n - i - 1) + 1)!}\right) x^{2n} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \left( \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1} \right) \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n}. \end{align} $$

Sumando las series al cuadrado podemos combinar los términos Impares y pares y luego utilizar el teorema del binomio para simplificar la suma interna a cero: $$ \begin{align} \cos^2 x + \sin^2 x & = 1 + \sum_{n = 1}^\infty \left(\sum_{i = 0}^{n}{2n \choose 2i} - \sum_{i = 0}^{n - 1}{2n \choose 2i + 1} \right) \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n} \\ & = 1 + \sum_{n = 1}^\infty \left(\sum_{j = 0}^{2n}(-1)^j{2n \choose j} \right) \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n} \\ & = 1 + \sum_{n = 1}^\infty \left(1-1\right)^{2n} \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n} = 1\,. \end{align} $$