¿De dónde proviene el exponencial complejo?

Question

La función exponencial compleja se define como:$$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$ It shares most of its properties with real exponential and it allows a lot of trigonometric calculations such as de Moivre's formula : $$(\cos x+i\sin x)^n = \cos{nx}+i\sin{nx}$ $

¿Pero de dónde viene esta definición y por qué funciona?

Answer 1

Otra forma de ver esto es para ver la exponencial y funciones trigonométricas como se definen por la potencia de la serie:

$$\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

Esto tiene la ventaja de que el $x$ puede ser cualquier cosa, siempre y cuando sepamos cómo multiplicar dos de ellos, agregue dos de ellos juntos, y dividir por un número real. En particular, tiene sentido que los reales y los números complejos.

Ahora usted puede poner $ix$ en las definiciones en lugar de $x$, y calcular:

$$\begin{align} \exp(ix) & = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots\right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \cdots\right) \\ & = \cos x + i \sin x \end{align}$$

por tanto, la fórmula citada, es visto como un teorema , más que una definición. Si ahora suponemos que la conocida ley

$$\exp(a+b) = \exp(a) \exp(b)$$

tiene arbitrarias $a$ $b$ (lo hace, y usted puede demostrar a partir de la energía de la serie de la definición), entonces ahora tenemos una manera de calcular la exponencial de cualquier número complejo:

$$\exp(x+iy) = \exp(x) (\cos y + i\sin y)$$

donde $x$ $y$ son reales.

Answer 2

Personas que han dado algunas buenas algebraicas respuestas que muestran que las ecuaciones de trabajo; he aquí una mano ondulado justificación que puede hacer que usted se sienta más cómodo con la idea en general.

La derivada de $f(x)$ es la forma de $f(x)$ cambios, como el cambio de $x$ un poco.

¿Cuál es la derivada de la $f(x) = e^{ix}$? Es $ie^{ix}$, $i$ veces $f(x)$ sí. Así que la manera en que $f$ cambios como mueves $x$$dx$$i \cdot f \cdot dx$.

Entonces, ¿qué significa para multiplicar algo por $i$? Esto significa girar 90 grados hacia la izquierda en el plano complejo. (Probar lo mismo con algunos simples números complejos si no se dieron cuenta de esto ya.)

Así que cuando $x=0$, y $f(x)=1$, $f'(0) = i \cdot f(0) = i \cdot 1 = i$; $f(0)$ es una evolución hacia el norte, cuando su valor es hacia el este. El mismo argumento funciona para otros valores de $x$; $f(x)$ va a cambiar en un 90 grados de ángulo en sentido horario desde el valor actual de $f(x)$.

La ecuación de movimiento que satisface esta regla (la velocidad es siempre perpendicular a la dirección desde el origen hasta el punto actual) es un círculo. $f(x) = e^{ix}$ se mueve en un círculo hacia la izquierda en todo el plano complejo, y eso es exactamente lo $\cos x + i \sin x$ también lo hace.

Answer 3

Un enfoque es comenzar con$$e^z = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{z}{n})^n$ $

Ahora, cuando$z=ix$ y$n$ es grande, puede mostrar geométricamente que$1+\frac{ix}{n}$ está "muy cerca" de$\cos \frac{x}{n} + i\sin\frac{x}{n}$. Usted sólo necesita que "lo suficientemente cerca" para ser suficiente para mostrar:

ps

Así que esto puede ser visto como resultado del hecho de que si$$e^{ix} = \lim_{n\to\infty} (\cos \frac{x}{n} + i\sin\frac{x}{n})^n = \cos x + i\sin x$ es pequeño,$\theta$ y$\cos \theta \approx 1$. En particular, el error en ambos casos es$\sin \theta \approx \theta$, que resulta ser todo lo que necesita.