Evaluación de$\int_{0}^{\infty} \cos(x)/(x^2+1)$ usando análisis complejos.

Question

Evaluar:

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} dx$$

Utilizando sólo el análisis complejo.

$$I = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} dx = (\frac{1}{2})\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} dx$$

Considere la posibilidad de un contorno $C$, con una parte superior del eje semi-círculo de $B$ y el eje que corre de $-R \to R$

Vamos a calcular:

$$\oint_{C} \frac{\cos(z)}{z^2 + 1} dz$$

Primero:

$$z^2 + 1 = 0 \implies Z \in \{-i, i\}$$

Sólo, $z = i$ es en el semi círculo región.

$$\text{Res}_{z=i} = \lim_{z \to i} (z-i)(f(i)) = \lim_{z \to i} \frac{\cos(z)}{z + i} = \frac{\cosh(1)}{2i}$$

Aplicando el teorema de los residuos:

$$\oint_{C} \frac{\cos(z)}{z^2 + 1} dz = (2\pi i)\cdot \frac{\cosh(1)}{2i} = \pi\cdot\cosh(1)$$

$$\oint_{C} \frac{\cos(z)}{z^2 + 1} dz = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} dx$$

Pero eso está mal, la respuesta para la plena inadecuado es:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{x^2 + 1} dx = \frac{\pi}{e}$$

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

La función coseno no desaparece en el semicírculo como$R \to \infty$; de hecho, hace lo contrario. Usted necesita: 1) tomar la parte real de$e^{i x}$ en el plano medio superior, o 2) usar$\cos{x} = (e^{i x}+e^{-i x})/2$ y usar ambos planos medios superior e inferior, respectivamente.

Answer 2

Utilizamos

Answer 3

utilizamos $$f\left( z \right) = \frac{{e^{iz} }}{{1 + z^2 }}$$ a continuación, tomar piezas reales como resultado de la integral .utilizando el mismo contorno $C$

\begin{array}{l} i \in C; - i \notin C \\ {\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left( {f;i} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to i} \left\{ {\left( {z - i} \right)\frac{{e^{iz} }}{{1 + z^2 }}} \right\} = \frac{{e^{ - 1} }}{{2i}} \\ \end{array} \begin{array}{l} \oint\limits_C {\frac{{e^{iz} }}{{1 + z^2 }}dz} = \int\limits_{ - R}^{ + R} {\frac{{e^{ix} dx}}{{1 + x^2 }}} + \int\limits_S_R {\frac{{e^{iz} dz}}{{1 + z^2 }}} = 2\pi i\frac{{e^{ - 1} }}{{2i}} = \frac{\pi }{e} \\ \Rightarrow \int\limits_{ - R}^{ + R} {\frac{{\cos \left( x \right)dx}}{{1 + x^2 }}} + i\int\limits_{ - R}^{ + R} {\frac{{\sin \left( x \right)dx}}{{1 + x^2 }} + } \int\limits_S_R {\frac{{e^{iz} dz}}{{1 + z^2 }}} = \pi e^{ - 1} \\ 2\int\limits_0^{ + R} {\frac{{\cos \left( x \right)dx}}{{1 + x^2 }}} = \pi e^{ - 1} ;\quad \left( {\int\limits_S_R {\frac{{e^{ix} dx}}{{1 + x^2 }} = 0} ;R \to + \infty \int\limits_{ - R}^{ + R} {\frac{{\sin \left( x \right)dx}}{{1 + x^2 }} = 0} } \right) \\ \mathop {\lim }\limits_{R \to + \infty } \int\limits_0^{ + R} {\frac{{\cos \left( x \right)dx}}{{1 + x^2 }}} = \frac{\pi }{2}e^{ - 1} \\ \end{array}

nota: pero si $y = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)$ $\cos \left( z \right) \approx \frac{{e^{\left| y \right|} }}{{\left| z \right|^2 }}$ grandes $\left| z \right|$

tenemos la estimación $ \left| {\int\limits_{C_R } {\frac{{e^{iz} }}{{z^2 + 1}}dz} } \right| \le \int\limits_{C_R } {\frac{{e^{ - y} }}{{R^2 - 1}}\left| {dz} \right|} \le \frac{{\pi R}}{{R^2 - 1}} \a 0 $ as $R \to \infty $ donde $ y = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) > 0 $por el teorema de los residuos $ \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{e^{ix} }}{{x^2 + 1}}dx = } 2\pi i\sum\limits_{{\mathop{\rm Im}\nolimits} > 0} {{\mathop{\rm Re}\nolimits} s_a } \frac{{e^{iz} }}{{z^2 + 1}} = \frac{\pi }{e} $