Expresiones cuadráticas: Técnicas avanzadas de integración

Question

ps

Después de dos pasos llego a$$\int \frac{x}{\sqrt{5+12x-9x^2}}\,dx$

Utilizando la sustitución trigonométrica, tenemos un triángulo con un coseno de$\displaystyle{ \int \frac{x}{\sqrt{9-(3x-2)^2}}}\,dx$ de$\theta$ y un$\displaystyle{\sqrt{9-(3x-2)^2}\over 3}$) de$\sin(\theta$.

Los dos pasos finales de resolver dar

$(3x-2)\over (3)$

Por lo tanto

$\displaystyle {\frac{-1}{3}\cos(\theta) + \frac{2}{9}\theta +C}$

Wolfram alfa dice que debe haber un signo positivo, es decir -$\displaystyle{\sqrt{9-(3x-2)^2}\over 9}$

¿Cómo puede ser eso posible dado el valor para el coseno de theta?

Answer 1

ps

Ajuste $$3I=\int\frac{3xdx}{\sqrt{3^2-(3x-2)^2}}$

y$3x-2=3\sin\theta\implies dx=\cos\theta\ d\theta$

ps

ps

ps

Ahora,$3x=2+3\sin\theta$ y$$3I=\int\frac{\cos\theta(2+3\sin\theta)}{3\text{sign}(\cos\theta)\cos\theta}d\theta$

Formar la definición del valor principal,$$\implies9I=\text{sign}(\cos\theta)\int(2+3\sin\theta)d\theta$

Answer 2

estableciendo$$\sqrt{5+12x-9x^2}=xt+\sqrt{5}$$ we get $$x=\frac{12-2t\sqrt{5}}{t^2+9}$$ and we get $$dx=\frac{2(-9\sqrt{5}-12t+\sqrt{5}t^2)}{(9+t^2)^2}dt$ $ y nuestra integral es racional.