Realmente no entiendo por qué el valor absoluto de un número complejo se define como su magnitud.
El valor absoluto para un número real, creo que tiene dos interpretaciones sensibles: la magnitud de este número desde el origen o el valor positivo de este número.
Al extrapolar esto a números complejos, ¿por qué se elige la primera definición, y no simplemente que el valor absoluto de un número complejo es un número complejo en el primer cuadrante (del plano complejo).
En general, podemos inventar definiciones y notación porque tenemos la intención de hacer uso de ellos en algún lugar. Por ejemplo, el término "valor absoluto" y la correspondiente notación $|-|$ existen debido a que regularmente tenemos ocasión de referirse a, por ejemplo, en las definiciones de la varianza de una variable aleatoria, es el límite de una secuencia, y otras construcciones. Para cada una de estas aplicaciones, el concepto correspondiente en los números complejos es capturado por su magnitud. En contraste, no puedo pensar en un solo caso en el que he necesitado para referirse a "el número en el primer cuadrante diferentes de este uno por un factor de potencia de $i$."
Por otra parte, las propiedades algebraicas de la función valor absoluto en los reales no son verdad de la función que he descrito. Por ejemplo, si se denota su función por $[-]$, no es el caso en general que $[xy] = [x][y]$ -- como no podía ser, desde el primer cuadrante no es cerrado bajo la multiplicación?
El punto es, usted puede definir cualquier función que se desee, pero si es sólo una curiosidad y no algo que surge de forma natural entonces es probable que no vale la pena dotar con su propio especial de notación y terminología.
"El valor positivo de la serie" es el efecto de tomar el valor absoluto de un número real, no es la definición de valor absoluto. La actual definición de valor absoluto de un número es la distancia desde cero. Esta es la razón por la que el valor absoluto de un número complejo es un número real positivo, porque la distancia es un número real.
En segundo lugar, no se puede discutir que un número complejo en el primer cuadrante del plano complejo es positivo, dado que la unidad imaginaria ($i$) se considera ni positivo ni negativo.
Piense en el número imaginario i como una rotación. Desde i^2 = -1 y i^4 = 1, el número imaginario no cambia de magnitud, pero no cambiar de dirección, que es la razón por la que el valor absoluto es uno y el mismo. Por otra parte, supongamos que queremos encontrar la magnitud de la z = a + bi. De ello se deduce que la magnitud z = sqrt(|z|^2). Desde i y -i son rotaciones en direcciones opuestas, la combinación de ambas rotaciones debe traer de vuelta a su ubicación original. Por esta razón, podemos decir |z|^2= |z* z donde z* es el conjugado de z.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
