Cálculo de límites para formas indeterminadas

Question

Se me pide que calcule el límite como$x\to0$ de:

$$ \ frac {e ^ x e ^ {- x} -2} {1- \ cos (3x)} $$

Creo que este es un "infinito / infinito" problema donde yo podría aplicar directamente regla de L'Hopital. ¿Es esto correcto? ¿cómo se encontraría este límite?

Answer 1

El numerador y el denominador se aproximan a$0$. La aplicación de la regla de L'Hopital a este problema debe ser rutinaria, pero tendrás que hacerlo dos veces .

Answer 2

1). La regla de L'Hopital es un martillo. OMI, no debe ser un reflejo, definitivamente no es la primera cosa que tratar de aplicar.

2). ¿Conoces la serie Taylor? Si lo hace, recuerde que$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$,$e^{-x} = 1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$, y$\cos 3x = 1- \frac{9x^2}{2} + o(x^2)$. Esto da $$ \ frac {1 x 1-x-2 x ^ 2 o (x ^ 2)} {1- 1 \ frac {9x ^ 2} {2} o (x ^ 2) } = \ frac {x ^ 2 o (x ^ 2)} {\ frac {9x ^ 2} {2} 9} {2} o (1)} \ xrightarrow [x \ a 0] {} \ frac {2} {9} $$ para su expresión.

Answer 3

Puedes usar L'Hopital pero tienes que usarlo dos veces. Primero vemos

ps

y luego una vez más (como sigue siendo$$L=\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos3x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{3\sin3x}$):

ps

por sustitución directa.

Answer 4

ps

Ahora $$\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos3x}=\left(\frac{e^x-1}x\right)^2\cdot\frac1{e^x}\cdot\frac1{\dfrac{1-\cos3x}{x^2}}$

y para la última parte, use Find$\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}x=1$