Suma de las secuencias de Cauchy en un grupo topológico abeliano (primera hipótesis de recapitulación)

Question

Sabemos que, dado un primer contables abelian grupo topológico $G$, de la suma de dos secuencias de Cauchy da otra secuencia de Cauchy (ver, por ejemplo, esta respuesta).

Para los que preguntan, se dice que una secuencia $(x_n)$ $G$ es de Cauchy si para cualquier vecindad $U$$0$, existe un entero $s = s(U)$ tal que $x_n - x_m \in U$ siempre $n,m \geq s$.

Sin embargo, no veo donde está el countability hipótesis se utiliza. Sé que es necesario, ya que existen contraejemplos (tome $G = \mathbb{R}$ con la métrica $d(x,y) = |\arctan(x)-\arctan(y)|$ y las secuencias de Cauchy $(x_n),(y_n)$$x_n = n, \, y_n = (-1)^n - n$) (Esto es realmente de primera contables, como un espacio métrico).

Actualización: yo soy en esencia preguntando por qué de Atiyah-Macdonald se limitan a grupos donde $0$ tiene una contables barrio de base a la hora de hablar acerca de estos conceptos. Vamos a incluir una imagen:

¿Alguien puede aclararme?

Gracias de antemano.

Answer 1

No, primero contables, no es necesaria para la Cauchyness de la suma de secuencias de Cauchy, el dado prueba utiliza sólo que para cada vecindario $U$ no es un porcentaje ($V$tal que $V+V\subseteq U$, que es básicamente la continuidad de la adición.

En su lugar, el contraejemplo es bastante difícil! Son secuencias de Cauchy con respecto a la métrica, pero son no Cauchy como se define a partir de la topológicos de la estructura del grupo (supongo que el de costumbre, además se utiliza)..

De todos modos, $\Bbb R$ es la primera contables.