Ejemplo de una función tal que $\varphi\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{\varphi(x)+\varphi(y)}{2}$ $\varphi$ no es convexo

Question

Real y complejo análisis capítulo 3 ejercicio 4 de Rudin es:

Asumir que $\varphi$ es que una función real continua en $(a,b)$ s.t. $$\varphi\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{\varphi(x)+\varphi(y)}{2}$$ for all $x,y\in (a, b) $. Prove that $\varphi$ es convexa.

La conclusión no sigue si se omite la continuidad de las hipótesis.

¿Mi pregunta es, hay alguna manera para construir explícitamente un contraejemplo tal que $\varphi\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{\varphi(x)+\varphi(y)}{2}$ % todo $x,y\in(a,b)$, $\varphi$ no es convexo?

Answer 1

No estoy seguro de que hay un constructiva ejemplo, pero aquí es una construcción usando el Axioma de Elección:

$\mathbb{R}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. Elegir (mediante AC) base $\{r_i\}_{i\in I}$$\mathbb{R}$, y considerar la posibilidad de la transformación lineal $h$ que intercambia los coeficientes de dos vectores de la base $r_1$$r_2$. A continuación,$h$, siendo una transformación lineal, conserva la suma y la multiplicación por $1/2$ (desde $1/2 \in \mathbb Q$), pero está en todas partes discontinuo. De hecho, el rango de $h$ sobre cualquier intervalo abierto es denso en $\mathbb R$. (Probar esto!)

Ahora considere el $\phi(x) = h(x)^2$. Desde $x^2$ es convexo y $h$ conserva la suma y reducir a la mitad, $\phi$ debe satisfacer la desigualdad. Por otro lado, $\phi$ no puede ser convexo, ya que la imagen de cualquier intervalo abierto es denso en $\mathbb R_+$.

Answer 2

Cualquier función convexa de punto medio en $\mathbb R$ que no es convexo no debe ser Lebesgue mensurable. Según el resultado de Solovay, hay modelos de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección en la que no hay no medibles funciones ${\mathbb R} \to {\mathbb R}$. Así es no hay forma de construir explícitamente su contraejemplo.

Answer 3

Vale la pena mencionar que las funciones con la por encima de la propiedad son a menudo llamado punto medio convexo o Jensen convexo. Se puede demostrar que cada punto medio convexa de la función es racional convexo.

Todos los no-continuo de la solución de la ecuación de Cauchy funcionaría da un contraejemplo. (Tenga en cuenta que la prueba de la existencia de este tipo de soluciones utiliza el Axioma de Elección. Con más frecuencia, se demuestra el uso de Hamel.) Es básicamente el mismo ejemplo como Henning dio, pero sin que componen la solución de con $x\mapsto x^2$.

Ver, por ejemplo, William F. Donoghue: Distribuciones y transformadas de Fourier, p.11. (Este libro fue uno de los primeros resultados de la búsqueda de libros de google cuando se busca el "punto medio convexo" "no convexo" de la función.)

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Curiosamente, mientras que la búsqueda en google (en el fin de añadir algunos enlaces útiles) me topé con los blogs de algunos de matemáticas.stackexchange los usuarios:

• ShreevatsaR: Convexo, continua, de Jensen
• Beni Bogosel: Jensen convexidad

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Una pregunta natural es ¿qué se puede decir sin el Axioma de Elección. Aunque no sé la respuesta a esta, por lo menos voy a añadir un enlace a un mathoveflow pregunta ¿hay algún no-lineal de las soluciones de la ecuación de Cauchy $(f(x+y)=f(x)+f(y))$ sin asumir el Axioma de Elección?, en donde se explica que al menos alguna forma de CA se necesita para obtener una no-continua solución de Cauchy funcional de la ecuación.

EDIT: veo que en el ínterin la cuestión de la necesidad de la AC fue contestado por Robert Israel.