Una pregunta básica sobre el espacio dual de$L^p[0,1]$

Question

Recientemente he empezado a leer el análisis funcional y me han llegado acerca de la doble espacios y no se puede obtener una comprensión intuitiva acerca de ellos. Aquí es donde mi intuición se rompe mientras que la comprensión de dobles de $L^p[0,1]$ espacios para $1\le p<\infty$:

Doble de $L^p[0,1]$ $L^q[0,1]$ donde $1/p+1/q=1$. Aquí, un espacio dual consiste en "Lineal funcionales' (decir $l(.)$) que los elementos del mapa en $L^p[0,1]$$R$, mientras que el $L^q[0,1]$ contiene funciones (decir $f(.)$) que se asignan los números reales a los números reales. En otras palabras, el mapa de $l(.)$ obras en las funciones y el mapa de $f(.)$ obras en los números reales. ¿Cómo puede el lineal funcionales (doble espacio) ser la misma que la de los elementos en $L^q[0,1]$.

No tengo un riguroso matemáticas, Si esta pregunta es vaga o trivial, por favor proporcione referencias de las mejores fuentes que contengan ejemplos sencillos.

Answer 1

Tienes toda la razón en tu razonamiento. Desde una perspectiva teórica, el espacio dual de $L^p$ y el espacio $L^q$ $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ son de hecho no es el mismo.

Sin embargo, hay una correspondencia uno a uno entre los dos conjuntos, y esta correspondencia es compatible con todos los habituales de las operaciones que había que realizar en los elementos de un espacio vectorial. Esta correspondencia se llama un isomorfismo. En el caso de $L^p$$L^q$, se puede definir una función de $\lambda_g$ por cada $g \in L^q$ que elementos de mapas de $L^p$$\mathbb{R}$. $$ \lambda_g \,:\, L^p \to \mathbb{R} \,,\, f \a \int_\mathbb{R} f(x)g(x) d\mu $$

Resulta que $\lambda_g$ es una continua mapa de $L^p$ $\mathbb{R}$por cada $g \in L^q$, es decir, $\lambda_g$ es un elemento del espacio dual de $L^p$ por cada $g \in L^q$. Y además, por cada elment $\lambda$ en el espacio dual de $L^p$, hay un $g \in L^q$ tal que $\lambda$ $\lambda_g$ se comportan de forma idéntica en $L^p$, es decir, para cada $f \in L^p$, $\lambda(f) = \lambda_g(f)$.

Para todos los efectos prácticos, por consiguiente, puede llamar a $L^q$ el espacio dual de $L^p$, si se recuerda la definición de $\lambda_g$, lo que indica cómo convertir las funciones de $L^p$ $\mathbb{R}$en elementos de $L^q$ y la espalda.