¿Cuáles son las diferencias entre las formas diferencial e integral de las ecuaciones (por ejemplo, las de Maxwell)?

Question

Me gustaría entender cuál es la forma diferencial e integral de la misma función, por ejemplo las famosas ecuaciones de James Clerk Maxwell:

¿Cómo saber dónde aplicar cada método? Perdona la ignorancia, pero siempre me ha confundido la cabeza.

Edit

Recordando que, sé que el concepto de integración y derivación es algo así como:

Answer 1

Las ecuaciones son completamente equivalentes, como se puede demostrar utilizando los teoremas de Gauss y Stokes.

Las formas integrales son más útiles cuando se trata de problemas macroscópicos con altos grados de simetría (por ejemplo, simetría esférica o axial; o, siguiendo los comentarios a continuación, integrales de línea/superficie donde el campo es paralelo o perpendicular al elemento de línea/superficie).

Las formas diferenciales son estrictamente locales: tratan con densidades de carga y corriente y campos en un punto en el espacio y el tiempo. Las formas diferenciales son mucho más fáciles de manipular al tratar con ondas electromagnéticas; facilitan mucho más demostrar que las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse en una forma covariante, compatible con la relatividad especial; y mucho más fáciles de poner en una computadora para hacer cálculos numéricos de electromagnetismo.

Creo que estos tres puntos se generalizan a cualquier sistema de formas diferenciales vs integrales en la física.

Answer 2

Su confusión radica en no reconocer que son exactamente las mismas ecuaciones. Tome por ejemplo la ley de Gauss:

$$ \vec \nabla \cdot \vec E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$$ Puede ver que ahí $\rho$ es la distribución de carga, y en general, puede ser una función de la posición.

Ahora considere un volumen $V$, puede simplemente integrar la densidad para obtener la carga total en el volumen, pero también puede integrar el gradiente del campo eléctrico para obtener una medida del campo eléctrico $$ \vec \nabla \cdot \vec E = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \hskip 30pt / \int_V dV$$

$$ \int_V \vec \nabla \cdot \vec E dV = \int_V \dfrac{\rho}{\epsilon_0} dV $$

Ahora puede usar el Teorema de la Divergencia en el lado izquierdo. $$ \vec \nabla \cdot \vec E = \iiint_V \vec \nabla \cdot \vec E = \iint_S E\cdot d\vec S $$

Aquí $S$ es la superficie del volumen y $d\vec S$ es el elemento de área de la superficie apuntando perpendicularmente hacia afuera del volumen, por lo que la forma final de la ecuación es

$$ \iint_S E\cdot d\vec S = \iiint_V \dfrac{\rho}{\epsilon_0} dV $$

Independientemente de la convención, es la misma ecuación que se muestra en Wikipedia. Puede hacer exactamente lo mismo con cada una de las ecuaciones de Maxwell usando el Teorema de la Divergencia y Teorema de Stokes

Ahora, ¿cuál es cuál? Si observa las ecuaciones verá que cada ecuación en forma diferencial tiene un operador $\overrightarrow{\nabla}$ (que es un operador diferencial), mientras que la forma integral no tiene ningún operador diferencial espacial, pero está integrando los términos de las ecuaciones.

Finalmente, en cuanto a cuál usar, no importa, porque son exactamente las mismas ecuaciones y para resolver muchos problemas termina integrando las ecuaciones de todos modos. Dicho esto, me gusta empezar desde la forma diferencial y si es necesario, integrar las ecuaciones.

Answer 3

Todo esto te dice es que los campos satisfacen ambas las ecuaciones integrales y diferenciales. Ambas están relacionadas por las identidades matemáticas llamadas el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes.

Entonces, ¿cuál aplicas? ¡Bueno, el que quieras! Si te encuentras con una integral, usas la forma integral, y si alguna vez te piden la divergencia o el rizo de los campos electromagnéticos, ¡sabrás exactamente qué es, sin siquiera intentarlo!

Answer 4

Me gustaría señalar también las diferencias entre la ecuación de Maxwell-Faraday y la propia ley de Faraday (emf = -d/dt (flujo magnético)). La ley de Faraday, combinada con la ecuación de Maxwell-Faraday, puede mostrar que la emf total debido a CUALQUIER cambio en el flujo es igual a Emf = int (e + Vxb).dl que corresponde a la emf del transformador y también a la emf motriz (debido a la fuerza magnética)

La ecuación de Maxwell-Faraday es solo debido a un campo eléctrico inducido, pero la ley de Faraday es debido a la emf del transformador + motriz.

Lo siento si esto no es relevante, pero pensé que valía la pena mencionarlo ya que también incluye la fuerza de Lorentz que es tan importante como las ecuaciones de Maxwell. Derivación actual aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Faraday_de_la_inducción