Supongamos que$J(x)$ es una función de matriz continua$\mathbb{R}^D \to \mathbb{R}^D \times \mathbb{R}^D$. ¿Siempre existe una asignación$f: \mathbb{R}^D \to \mathbb{R}^D$ para que$J = \nabla f$. Si no, ¿existen condiciones conocidas tales que este mapeo existe?
Respuesta
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Gio67
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Deje $J_{1}, \ldots, J_{D}$ denotar las columnas de a $J$. A continuación, cada uno de los $J_{i}:\mathbb{R}^{D}\rightarrow\mathbb{R}^{D}$ , por lo que usted está tratando de encontrar funciones de $f_{i}:\mathbb{R}^{D}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $J_{i}=\nabla f_{i}$ for every $i=1, \ldots, D$. Para la construcción de contra-ejemplos es fácil. Si $J$ $C^{1}$ y no sólo continua, ya que el dominio es $\mathbb{R}^{D}$, a continuación, una condición necesaria y suficiente para cada uno de los $J_{i}$ a ser el gradiente de de una función es la $J_{i}$ es irrotacional, es decir, $\frac{\partial J_{i,j}}{\partial x_{k}}=\frac{\partial J_{i,k}}{\partial x_{j}}$ for all $j$, $k$ donde $J_{i}=(J_{i,1},\ldots,J_{i,D})$. En $\mathbb{R}^{2}$ $J_{1}(x,y)=(y,2x)$ y cualquier cosa que usted desea para $J_{2}$. Entonces $\frac{\partial }{\partial y}(y)=1\neq\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2$, and so $J_{1}$ es no irrotacional.
Si $J$ es solo continuo, una condición necesaria y suficiente para cada uno de los $J_{i}$ a ser el gradiente de una función es la $\int_{\gamma}J_{i}=0$ cada curva cerrada $\gamma$. Esto no es tan fácil de usar, ya que tiene que comprobar cada curva cerrada, pero si encuentras uno para que la integral es cero, entonces sabes inmediatamente que $J_{i}$ no puede ser el gradiente de una función.
Usted puede encontrar todo esto en Fleming "Funciones de varias variables". Buscar exacto de formas diferenciales.
