¿Cómo puedo probar el Lemma de Fatou general sin usar el Teorema de convergencia monótona.
Lema
Sea$(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y$\{f_n\}$ una secuencia mensurable no negativa. Entonces
ps
Respuesta
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Aquí es una prueba basada en el delimitada teorema de convergencia, adaptado de Durrett.
Definir $g_n(x) = \inf_{m\geq n} f_m(x)$. Por eso,$f_n \geq g_n$$g_n \uparrow g(x) := \liminf_n f_n(x)$$n \to \infty$.
Por la monotonía de la integral, sabemos que $\newcommand{\du}{\,\mathrm d \mu} \int f_n \du \geq \int g_n \du$, de donde $$\liminf_n \int f_n \du \geq \liminf_n \int g_n \du \>.$$
Supongamos $X_n \uparrow X$ donde $\mu(X_n) < \infty$. Por la limitada teorema de convergencia, para fijo $m$, tenemos $$ \liminf_n \int g_n \du \geq \int_{X_m} g_n \wedge m \du \a \int_{X_m} g \wedge m \du \>, $$ dado que el integrando en el medio es limitada y converge a el integrando de la derecha.
Pero, a continuación, $$ \liminf_n \int g_n \du \geq \sup_m \int_{X_m} g \wedge m \du = \int \liminf_n f_n \du \>. $$
Desde $\liminf_n \int f_n \du \geq \liminf_n \int g_n \du$, hemos terminado.
