Unicidad de la estructura de gavilla

Question

Dado un anillo$A$ y su Spectrum$X=Spec(A)$ visto como un espacio topológico con la topología Zariski, es posible construir un fardo en$X$ satisfaciendo las condiciones

• $O_X(X)=A$
• $O_X(X_f)=A_f$ dónde $X_f=X-V(f)$
• $O_{X,p}=A_p$

Mi pregunta es: ¿estas condiciones determinan la gavilla únicamente hasta isomorfismos de gavillas, o existe un anillo con dos gavillas no isomorfas que satisfacen estas propiedades?

Answer 1

Para un contraejemplo, considere un campo$k$ y defina$A= k[x]_{(x)}$ que es un anillo de valoración discreto, así que$X=\mathrm{Spec}(A) = \{0, (x)\}$ y$\{0\}$ es el único conjunto abierto no trivial. Ahora considere un$\cal{F}$$X$$\mathcal{F}(X) = A, \mathcal{ F}(\{0\})= k(x),$$A=\mathcal{F}(X)\to k(x)=\mathcal{F}(\{0\})$$x$$x^2$$k[x]_{(x)}\stackrel{\simeq}{\to} k[x^2]_{(x^2)}\to k(x).$$\mathcal{F}(\{0\})$$\mathrm{Spec}(A)$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % El campo de cociente de la imagen de este mapa no es igual a% #% #% y por lo que esta gavilla no es isomorfa a la estructura gavilla de% #% #%.