Múltiples suaves abstractas frente a las suaves incrustadas

Question

En Topología desde el punto de vista diferenciable una colmena lisa (incrustada) se define de la siguiente manera.

Un subconjunto $M \subseteq \mathbb{R}^k$ se llama colector liso de dimensión $m$ si cada $x \in M$ tiene una vecindad $W \cap M$ que es difeomorfo a un subconjunto abierto $U$ del espacio euclidiano $\mathbb{R}^m$

En el lenguaje de los gráficos y atlas podemos convertir esta definición en lo siguiente

Un subconjunto $M \subseteq \mathbb{R}^k$ se denomina colector liso de dimensión $m$ si existe una colección de gráficos llamada atlas suave $\mathcal{A} = \{ (W_i, \psi) \ |\ W_i \text{ is open in $ M $ and $ \psi : W \a \a \a mathbb{R}^m $ is a diffeomorphism\}}$ y $\bigcup_{i}W_i = M$

---

Entonces en Introducción a los Múltiples Suaves por John Lee Las variedades lisas (abstractas) se definen de la siguiente manera.

Un colector liso es un par $(M, \mathcal{A})$ donde $M$ es una variedad topológica y $\mathcal{A}$ es una estructura suave en $M$ . Una estructura lisa es un atlas liso máximo, y un atlas liso es una colección de gráficos cuyos dominios cubren $M$ y donde dos gráficos cualesquiera $(U, \phi), (V, \psi)$ en $\mathcal{A}$ son fácilmente compatibles entre sí. Estos gráficos son compatibles si $U \cap V = \emptyset$ o el mapa de transición es un difeomorfismo.

---

Ahora mi pregunta es la siguiente, en la segunda definición, las funciones $\phi$ y $\psi$ son homeomorfismos, por lo que son continuos, biyectivos y tienen inversa continua, ¿pero son difeomorfismos? . ¿Son necesariamente suaves y su inversa es necesariamente suave?

La definición no dice explícitamente que tengan que ser difeomorfismos.

Si $(U, \phi)$ y $(V, \psi)$ son dos gráficos en $\mathcal{A}$ tal que $U \cap V \neq \emptyset$ el mapa de transición de $\phi$ a $\psi$ se define como la composición $\psi \circ \phi^{-1} : \phi[U \cap V] \to \psi[U \cap V]$

Así que eso reduce mi pregunta a lo siguiente, es $\psi \circ \phi^{-1}$ un difeomorfismo si y sólo si ambos $\psi$ y $\phi^{-1}$ son difeomorfismos?

Answer 1

Hay una razón por la que esa definición no requiere que el mapa $\phi$ en un gráfico $(U,\phi)$ sea un difeomorfismo: eso requeriría saber ya que $M$ es una variedad suave, pero como eso es lo que se está definiendo, la definición sería circular.

Sin embargo, una vez que un colector liso $(M,\mathcal{A})$ se define, entonces se puede avanzar y definir funciones suaves sobre subconjuntos abiertos de $M$ . Es decir, para cada conjunto abierto $W \subset M$ una función $\xi : W \to \mathbb{R}^k$ es suave si y sólo si para cada gráfico $(U,\phi)$ en el atlas $\mathcal{A}$ el mapa $\xi \circ \phi^{-1} : \phi(W \cap U) \to \mathbb{R}^k$ es suave. Y entonces, aplicando la definición de atlas liso, es ahora un lema fácil demostrar que si $(U,\phi)$ es un gráfico en el atlas $\mathcal{A}$ entonces $\phi : U \to \mathbb{R}^m$ es realmente suave.

Answer 2

No tendría sentido que la definición exigiera $\phi$ y $\psi$ para ser difeomorfismos, porque no se puede definir lo que significa que sean difeomorfismos hasta que no se tenga una estructura suave en $M$ . Esto contrasta con la situación de las variedades incrustadas, donde se puede definir lo que significa que un mapa sea suave utilizando la noción habitual de diferenciación de mapas entre subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ .

Dicho esto, cualquier gráfico de una variedad suave es un difeomorfismo. Esto es bastante inmediato a partir de las definiciones: para que un mapa entre variedades sea suave, significa que sus composiciones con gráficos dan mapas suaves entre subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ . Pero en el caso de que su mapa sea en sí mismo un gráfico (o la inversa de un gráfico), estas composiciones son exactamente los mapas de la forma $\psi \circ \phi^{-1}$ que la definición exige que sean difeomorfismos (en particular, suaves).

Answer 3

La cuestión es que como tu colector está definido de forma abstracta y no incrustado, no es completamente obvio lo que quieres decir con difeomorfo (¡antes de definir la estructura suave!).

En el caso de un submanifold incrustado, se puede pedir simplemente que $\phi$ y $\psi$ se extienden a difeomorfismos definidos en subconjuntos abiertos del espacio ambiente, pero en la segunda definición no se puede hacer eso. Así que lo que se hace es definir un mapa $f: M \to \mathbb{R}^n$ para ser suave si en cada dominio de la carta $(U,\phi)$ el mapa $f \circ \phi^{-1}$ es suave.

Para poder hacerlo de forma consistente, se necesita la condición de que los mapas de transición sean suaves, y a posteriori, sí, los gráficos son suaves para la estructura suave que inducen.