$a,b,c$ son reales positivos y distintos con $a^2+b^2 -ab=c^2$. Prueba $(a-c)(b-c)<0$

Question

$a,b,c$ son reales positivos y distintos con $a^2+b^2 -ab=c^2$.

Mostrar que $(a-c)(b-c)<0$.

Se trata de una pregunta presentada en la "Olimpiadas do Ceará 1987" un concurso de matemáticas celebrada en Brasil. Lo siento si esta duplicado.

Teniendo en cuenta las premisas, es fácil mostrar que

$$0<(a-b)^2<a^2+b^2-ab=c^2.$ $ Pero no pudo encontrar una ruta prometedora para perseguir.

Es bienvenida cualquier sugerencia o respuesta.

Answer 1

Si c $a<b$, entonces $$ ^ 2 = un ^ 2 + b ^ 2-ab = a^2+b(b-a) > una ^ 2 \\ c ^ 2 = un ^ 2 + b ^ 2-ab = b^2-a(b-a) < b ^ 2 $$ $a<c<b$ y $(a-c)(b-c)<0$.

Si c $a>b$, entonces $$ ^ 2 = un ^ 2 + b ^ 2-ab = a^2-b(a-b) < un ^ 2 \\ c ^ 2 = un ^ 2 + b ^ 2-ab = b^2+a(a-b) > b ^ 2 $$ $b<c<a$ y $(a-c)(b-c)<0$.

Answer 2

Observe el triángulo con lados #% ángulos y $a,b,c$ #%.

Por coseno teorema ángulo $\alpha,\beta, \gamma$, así $\gamma = 60^{\circ}$. Por lo que podemos suponer $\alpha +\beta =120^{\circ}$ $\alpha \leq 60^{\circ}$. Así $\beta \geq 60^{\circ}$ y por lo tanto la conclusión:

$b\geq c\geq a$$

con igualdad iff $$(a-c)(b-c)\leq 0$.

Answer 3

WLOG asumir $a<b$. Entonces: $$a^2+b^2-ab=c^2 \Rightarrow a(a-b)=(c-b)(c+b) \Rightarrow c<b$ $ $$a^2+b^2-ab=c^2 \Rightarrow (a-c)(a+c)=b(a-b) \Rightarrow a<c.$ $

Answer 4

tenemos $$c=\sqrt{a^2+b^2-ab}$$ since $c # > 0$ and $% $ $a^2+b^2>ab$de aquí obtenemos el producto $$(a-\sqrt{a^2+b^2-ab})(b-\sqrt{a^2+b^2-ab})<0$ $ tenemos dos casos. 1) $$a>\sqrt{a^2+b^2-ab}$$ and $$b<\sqrt{a^2+b^2-ab}$$ after squaring we get $$a>b$ $ 2) $$a<\sqrt{a^2+b^2-ab}$$ and $% $ $b>\sqrt{a^2+b^2-ab}$después de la escuadra obtenemos $$a<b$ $ y nuestra afirmación es cierta.

Answer 5

Sin pérdida de generalidad se puede suponer $a>b$. Luego hay 2 casos tienes que refutar (lo siento si esta palabra no existe, el inglés no es mi primera lengua)

Caso 1) $a>b>c$ y Caso 2) $c>a>b$.

En cualquier otro caso, cumpla con las proppert (Desde a,b, y c son dsitinct)

Caso 1)

Si $a>b>c$ $b^2>c^2$ $a^2-ab > 0 $ (ya que a > b).

A continuación,$a^2 +b^2 -ab > c^2 + 0$. A continuación, se contradice la hipótesis.

Caso 2)

Si $c>a>b$ $c^2>a^2$ $0>b^2-ab$ $c^2=c^2+0>a^2+b^2-ab. Contradiciendo la hipótesis de nuevo.

Tenga en cuenta que esto puede llevarse a cabo sólo porque ae los números reales positivos.