¿Cómo mostrar que $e$ es irracional mediante el estudio de $\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{k!}$ y $\sum^{n}_{k=0}\frac{1}{k} + \frac{1}{n \cdot n!}$?

Question

Supongamos que tiene $$a_n = \sum^{n}_{k=0}\frac{1}{k!}$$ and $% $ $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}. $

Usando el hecho de que $a_n <e <b_n$, que es verdad $\forall n \in \mathbb{N}$, la conclusión de que $e \not \in \mathbb{Q}$.

Y soy incapaz de hacer nada. Intentó conseguir algo absurdo por suponer que $e = \frac{a}{b}$ $a,b \in \mathbb{Z}$, pero no llegar a ninguna parte. Una sugerencia sería apreciada altamente.

Answer 1

Asumir que $e=p/q$ $p,q\in \mathbb{N}^+$ $n=q$, $$(qq!)\cdot a_q <(qq!)\cdot e <(qq!)\cdot b_q\implies qq!a_q<pq(q-1)!<qq!a_q+1.$ $ que significa que el entero $pq(q-1)!$ es estrictamente entre el % de dos enteros consecutivos $qq!a_q$y $qq!a_q+1$. Contradicción.

P.d.: $(qq!)\cdot a_q$ es un entero porque $$(qq!) \cdot a_q = q\sum ^ {q} _ {k = 0} \frac {q}! {k}! = q\sum ^ {q-1} _ {k = 0} \prod_ {k+1} ^ q j + q$ $ que es una suma de números enteros.

Answer 2

Sugerencia: Que $n=b$ y claro los denominadores en el % de desigualdad $a_n<e<b_n$.