¿Cómo puedo probar esta desigualdad: $\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$?

Question

Si $abc=1$ y $a^3>36$ probar que,

$\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

He intentado utilizar el método general de prueba.

$\frac{a^2}{3}+b^2+c^2-ab-bc-ca>0$

Notación simbólica: $\frac{a^2}{3}+b^2+c^2-ab-bc-ca>0 \Rightarrow(x+y+z+...)^2>0$

Pero, después de probar demasiado, acepté la derrota.

Answer 1

Como un viejo participante olímpico (demasiado viejo), me encantan las preguntas de la prueba. Mi reputación es muy bajo ahora. Pero creo que la prueba es correcta.

\begin{align}\frac{a^2}{3}+b^2+c^2-ab-bc-ca&=\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab-bc-ca+\frac{a^2}{12}\\ &=\left({\frac a2-b-c}\right)^2+\frac{a^2}{12}-3bc\\ &=\left({\frac a2-b-c}\right)^2+\frac{a^2}{12}-\frac 3a\\ &=\left({\frac a2-b-c}\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}\\ &>0 \end {Alinee el}

Hecho.

Answer 2

Recuerdo que resolver esta desigualdad hace un par de años. Aquí está mi prueba. Puede parecer complicado, pero la idea es realmente muy simple - nosotros queremos hacer de $b,c$ más uno a otro manteniendo la desigualdad $a^2\ge 36bc$ válido y la suma de $b^2+c^2$ fijo para el eje izquierdo permanece fijo y el eje derecho se incrementa. El proceso de elaboración de $b,c$ más cerca unos de otros terminará en el momento en $36bc$ es igual a $a^2$ (esto corresponde al segundo siguiente caso) o al $b=c$ (este es el primer caso).

Deje $d=\sqrt{\frac{b^2+c^2}2}$, de modo que $2d^2=b^2+c^2$. Observar que $d^2 = \frac{b^2+c^2}2 \ge bc$$2d = \sqrt{2(b^2+c^2)}\ge b+c$. Por lo tanto $$d^2+2ad \ge bc+a(b+c)=ab+bc+ca.$$ Es suficiente para probar que $$\frac{a^2}3+2d^2 > d^2+2ad.$$ Esto es cierto si $a\ge 6d$ porque $$\frac{a^2}3+2d^2 - (d^2+2ad) = \frac{a(a-6d)}{3}+d^2>0.$$

Nos quedamos con el caso de $a<6d$.

Debido a $a<6d$ hay $m,n>0$ tal que $m^2+n^2=2d^2$$36mn=a^2$. A continuación, $36bc<a^2=36mn$ $bc<mn$ también $$b+c=\sqrt{b^2+2bc+c^2}=\sqrt{2d^2+2bc}<\sqrt{2d^2+2mn}=\sqrt{m^2+2mn+n^2}=m+n.$$ De ello se desprende que $$ab+bc+ca=a(b+c)+bc<a(m+n)+mn=6(m+n)\sqrt{mn}+mn$$ tan sólo tenemos que demostrar que $$\frac{a^2}3+b^2+c^2=12mn + n^2+m^2 \ge 6(m+n)\sqrt{mn} + mn,$$ lo cual es cierto porque $$12mn + n^2+m^2 - (6(m+n)\sqrt{mn} + mn) = (m+n-3\sqrt{mn})^2\ge 0.$$