Un cardenal $\lambda$ es débilmente inaccesible, si a. es regular (es decir, un conjunto de cardinalidad $\lambda$ no puede representarse como una unión de conjuntos de cardinalidad $<\lambda$ indexado por un conjunto de cardinalidad $<\lambda$ ) y b. para todos los cardenales $\mu<\lambda$ tenemos $\mu^+<\lambda$ donde $\mu^+$ es el sucesor de $\mu$ . Los cardenales fuertemente inaccesibles se definen de la misma manera, con $\mu^+$ sustituido por $2^\mu$ . Normalmente se añade también la condición de que $\lambda$ debe ser incontable.
Según tengo entendido, un "gran cardinal" es un cardinal débilmente inaccesible con algunas propiedades adicionales. En la teoría de conjuntos se consideran varios "axiomas de grandes cardinales", que afirman la existencia de grandes cardinales de varios tipos. Obsérvese que estos axiomas son bastante diferentes de, por ejemplo, la Hipótesis del Continuo. En particular, no se puede deducir la consistencia de ZFC + existe al menos un cardinal débilmente inaccesible (incontable) a partir de la consistencia de ZFC, véase, por ejemplo, Kanamori, The Higher Infinite, p.19. Es decir, suponiendo que ZFC es consistente, estos axiomas no pueden demostrarse independientemente de ZFC.
Los grandes axiomas cardinales "razonables" parecen estar ordenados según su fuerza de consistencia, como se explica, por ejemplo, aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal . Esto no es un teorema, sólo una observación. Se puede encontrar una lista de axiomas según su fuerza de consistencia, por ejemplo, en la página 472 del libro de Kanamori mencionado anteriormente. (Cabe destacar que comienza con "0=1", que es un axioma muy fuerte).
Los cardenales grandes parecen ocurrir rara vez en las matemáticas "cotidianas". Uno de los casos en los que aparecen es cuando se intenta construir los fundamentos de la teoría de categorías. Una de las formas de hacerlo (y la que me parece (a mí) más atractiva) es empezar con la teoría de conjuntos y añadir el axioma del universo de Grothendieck, que afirma que todo conjunto es un elemento de un universo de Grothendieck.
(Como comentario aparte, permítanme mencionar otra aplicación de los axiomas de los grandes cardinales: increíblemente, la solución más rápida conocida del problema de la palabra en los grupos de trenzas se originó en la investigación de los axiomas de los grandes cardinales; la prueba es independiente de la existencia de los grandes cardinales, aunque la primera versión de la prueba sí los utilizó. Véase Dehornoy, From large cardinals to braids via distributive algebra, Journal of knot theory and ramifications, 4, 1, 33-79).
Traducido al lenguaje de los cardenales, el axioma del Universo dice que para cualquier cardenal existe un cardenal estrictamente mayor y fuertemente inaccesible. He escuchado varias veces que esto es bastante bajo en la lista de fuerza de consistencia mencionada, pero nunca pude entender exactamente qué tan bajo. Así que me gustaría preguntar: ¿la existencia de un (único) cardinal grande de algún tipo implica (o es equivalente a) el axioma del Universo?