24 votos

Axiomas cardinales grandes y universos de Grothendieck

Un cardenal $\lambda$ es débilmente inaccesible, si a. es regular (es decir, un conjunto de cardinalidad $\lambda$ no puede representarse como una unión de conjuntos de cardinalidad $<\lambda$ indexado por un conjunto de cardinalidad $<\lambda$ ) y b. para todos los cardenales $\mu<\lambda$ tenemos $\mu^+<\lambda$ donde $\mu^+$ es el sucesor de $\mu$ . Los cardenales fuertemente inaccesibles se definen de la misma manera, con $\mu^+$ sustituido por $2^\mu$ . Normalmente se añade también la condición de que $\lambda$ debe ser incontable.

Según tengo entendido, un "gran cardinal" es un cardinal débilmente inaccesible con algunas propiedades adicionales. En la teoría de conjuntos se consideran varios "axiomas de grandes cardinales", que afirman la existencia de grandes cardinales de varios tipos. Obsérvese que estos axiomas son bastante diferentes de, por ejemplo, la Hipótesis del Continuo. En particular, no se puede deducir la consistencia de ZFC + existe al menos un cardinal débilmente inaccesible (incontable) a partir de la consistencia de ZFC, véase, por ejemplo, Kanamori, The Higher Infinite, p.19. Es decir, suponiendo que ZFC es consistente, estos axiomas no pueden demostrarse independientemente de ZFC.

Los grandes axiomas cardinales "razonables" parecen estar ordenados según su fuerza de consistencia, como se explica, por ejemplo, aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal . Esto no es un teorema, sólo una observación. Se puede encontrar una lista de axiomas según su fuerza de consistencia, por ejemplo, en la página 472 del libro de Kanamori mencionado anteriormente. (Cabe destacar que comienza con "0=1", que es un axioma muy fuerte).

Los cardenales grandes parecen ocurrir rara vez en las matemáticas "cotidianas". Uno de los casos en los que aparecen es cuando se intenta construir los fundamentos de la teoría de categorías. Una de las formas de hacerlo (y la que me parece (a mí) más atractiva) es empezar con la teoría de conjuntos y añadir el axioma del universo de Grothendieck, que afirma que todo conjunto es un elemento de un universo de Grothendieck.

(Como comentario aparte, permítanme mencionar otra aplicación de los axiomas de los grandes cardinales: increíblemente, la solución más rápida conocida del problema de la palabra en los grupos de trenzas se originó en la investigación de los axiomas de los grandes cardinales; la prueba es independiente de la existencia de los grandes cardinales, aunque la primera versión de la prueba sí los utilizó. Véase Dehornoy, From large cardinals to braids via distributive algebra, Journal of knot theory and ramifications, 4, 1, 33-79).

Traducido al lenguaje de los cardenales, el axioma del Universo dice que para cualquier cardenal existe un cardenal estrictamente mayor y fuertemente inaccesible. He escuchado varias veces que esto es bastante bajo en la lista de fuerza de consistencia mencionada, pero nunca pude entender exactamente qué tan bajo. Así que me gustaría preguntar: ¿la existencia de un (único) cardinal grande de algún tipo implica (o es equivalente a) el axioma del Universo?

29voto

thedeeno Puntos 12553

Un universo de Grothendieck se conoce en teoría de conjuntos como el conjunto V κ para un cardinal (fuertemente) inaccesible κ. Son exactamente la misma cosa. Así, la existencia de un universo de Grothendieck es exactamente equivalente a la existencia de un cardinal inaccesible. Estos cardinales y los universos correspondientes se han estudiado en la teoría de conjuntos durante más de un siglo.

El axioma del universo de Grothendieck (AU) es la afirmación de que todo conjunto es un elemento de un universo en este sentido. Por lo tanto, equivale a la afirmación de que los cardinales inaccesibles son ilimitados en los cardinales. En otras palabras, que existe una clase propia de cardinales inaccesibles. Este es el axioma que se buscaba, que es exactamente equivalente a la UA. En este sentido, el axioma AU es un enunciado de la teoría de conjuntos, que no tiene necesariamente nada que ver con la teoría de categorías.

Los grandes axiomas cardinales se miden fructíferamente en fuerza no sólo por la implicación directa, sino también por su consistencia fuerza. Una gran propiedad cardinal LC 1 es más fuerte que otra LC 2 en la fuerza de la consistencia si la consistencia de ZFC con una LC 1 cardinal grande implica la consistencia de ZFC con una LC 2 gran cardenal.

Medido de esta manera, el axioma de la UA tiene una fuerza de consistencia más fuerte que la existencia de cualquier número finito o accesible de cardinales inaccesibles, por lo que uno podría pensar que es bastante fuerte. Pero, en realidad, es mucho más débil que la existencia de un único cardinal Mahlo, el tradicional paso siguiente en la jerarquía de los grandes cardinales. La razón es que si κ es Mahlo, entonces κ es un límite de cardinales inaccesibles, y por tanto V κ satisfará ZFC más el axioma AU. La diferencia entre AU y Mahloness tiene que ver con el espesor de la clase de cardenales inaccesibles. Por ejemplo, estrictamente más fuerte que AU y más débil que un cardinal de Mahlo es la afirmación de que los cardinales inaccesibles forman una clase propia estacionaria, una afirmación conocida como el Esquema de Levy (que es demostrablemente equivconsistente con algunos otros axiomas interesantes de la teoría de conjuntos, como el Principio de Maximalidad en negrita, que he estudiado mucho). Incluso los cardinales de Mahlo se consideran bastante bajos en la jerarquía de los cardinales grandes, muy por debajo de los cardinales débilmente compactos, los cardinales de Ramsey, los cardinales medibles, los cardinales fuertes y los cardinales supercompactos. En particular, si δ es cualquiera de estos grandes cardinales, entonces δ es un límite de los cardinales de Mahlo, y ciertamente un límite de los cardinales fuertemente inaccesibles. Así que, en particular, V δ será un modelo del axioma AU.

Más bien pocos de los axiomas de los grandes cardinales implican directamente a la UA, ya que la mayoría de ellos siguen siendo verdaderos si uno cortara el universo en un cardinal inaccesible dado, un proceso que mata a la UA. Sin embargo, entre los niveles de la gran hiearquía cardinal están implícitos los axiomas de la misma forma que la UA, que afirman una clase no limitada del cardinal dado. Por ejemplo, uno podría querer tener ilimitadamente muchos cardinales Mahlo, o ilimitadamente muchos cardinales medibles, y así sucesivamente. Y la fuerza de consistencia de estos axiomas sigue siendo inferior a la fuerza de consistencia de un único cardinal supercompacto. La jerarquía es extremadamente fina y está intensamente estudiada. Por ejemplo, la afirmación de que hay un número ilimitado de cardinales fuertes es equiconsistente con la imposibilidad de afectar a la verdad proyectiva por forzamiento. La existencia de una clase propia de cardinales de Woodin es particularmente robusta desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, y todos estos axiomas son mucho más fuertes que la UA.

Hay debilitamientos naturales de la UA que siguen permitiendo casi todo, si no todo, lo que los teóricos de la categoría hacen con estos universos. A saber, con los universos, parecería ser suficiente para casi todos los propósitos de la teoría de las categorías, si un universo dado U fuera simplemente un modelo de ZFC, en lugar de V κ para un cardinal inaccesible κ. La diferencia es que U es meramente un modelo del axioma de conjuntos de potencia, en lugar de estar realmente cerrado bajo los verdaderos conjuntos de potencia (y de forma similar, utilizando Reemplazo en lugar de regularidad). El debilitamiento de AU que tengo en mente es el axioma que afirma que todo conjunto es un elemento de un modelo transitivo de ZFC. Esta afirmación es estrictamente más débil en fuerza de consistencia que incluso un único cardinal inaccesible. Se puede llegar mucho más abajo, si se debilita el concepto de universo a sólo un fragmento de ZFC. Entonces uno podría llegar a una versión de la UA que fuera realmente demostrable en ZFC, pero que pudiera ser utilizada para la mayoría de las aplicaciones en la teoría de la cateogoría hasta donde yo sé. En este sentido, la propia ZFC es una especie de gran axioma cardinal en relación con los fragmentos más débiles de ZFC.

5voto

Eduard Wirch Puntos 199

Está muy cerca de la parte inferior de la carta de Kanamori. La parte inferior del gráfico es el nivel de los cardinales (fuertemente) inaccesibles, que es el axioma cardinal grande más pequeño. Justo encima de los inaccesibles en el gráfico están los cardinales α-inaccesibles. Resulta que el Axioma del Universo (UA) es estrictamente más débil que la existencia de un cardinal 2-inaccesible. De hecho, κ es 2-inaccesible si y sólo si κ es regular y V κ ⊧ ZFC + UA.

En concreto, un cardenal κ es:

  • 0-inaccesible si κ es regular,
  • 1-inaccesible si κ es un límite fuerte regular de 0-inaccesibles,
  • 2-inaccesible si κ es un límite fuerte regular de 1-inaccesibles,
  • etc.

Así que un cardinal inaccesible es exactamente lo mismo que un cardinal 1-inaccesible, que también son precisamente los cardinales regulares κ tales que V κ ⊧ ZFC. Si κ es 2-inaccesible, entonces hay un número ilimitado de inaccesibles λ < κ. Estos son inaccesibles en V κ también, por lo que V κ satisface la UA.

Nótese que la existencia de un cardinal 2-inaccesible κ no implica directamente el Axioma del Universo. De hecho, κ puede ser el último cardinal inaccesible, lo que significa que puede no haber ningún universo que contenga a κ. Sin embargo, si κ es 2-inaccesible entonces el universo V κ sí satisface UA, lo que significa que la existencia de un 2-inaccesible demuestra la consistencia de ZFC + UA.

Aunque la UA es realmente un gran axioma cardinal, no hay manera de formular la UA como la existencia de un solo cardenal grande. Sin embargo, moralmente hablando, se puede pensar en UA como si dijera "la clase de todos los ordinales (vistos como un número cardinal) es 2-inaccesible". Por supuesto, esto no tiene sentido ya que la clase de todos los ordinales no es un conjunto, pero esto es exactamente lo que parece κ cuando se ve desde dentro de V κ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X