Que $A$ ser una matriz de $4\times2$ y $B$ $2\times4$ matriz. Obtenga las $BA$ $AB$ se da.

Question

Que $A$ ser una matriz de $4\times2$ y $B$ $2\times4$ matriz para que

$AB =\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $

Encontrar $BA$

Tengo la respuesta, que debe ser $BA =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $, but how do I show that this is the only possible solution or is it sufficient (according to some property which I'm not aware of) to have one match for $A $ and $B $ and therefore no other outcome for $ BA$ es posible.

Answer 1

Escriba $A=\begin{pmatrix}A_1\\A_2 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}B_1 &B_2 \end{pmatrix}$ encuentran $A_1,A_2,B_1,B_2$ $2\times2$ matrices.

Tenga en cuenta que $AB=\begin{pmatrix}A_1B_1 & A_1B_2\\A_2B_1 & A_2B_2 \end{pmatrix}$, por lo tanto, $A_1B_1= A_2B_2=I_2$.

Puesto que una matriz cuadrada conmuta con su inversa, tenemos así $B_1A_1=B_2A_2=I_2$.

Por último, tenga en cuenta que $BA=\begin{pmatrix}B_1A_1+B_2A_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2I_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$.

Answer 2

Puede calcular el cuadrado de $AB$ y tenga en cuenta que $ AB\; AB = 2 AB$ que significa que el $A(BA -2I)B=0$. Ahora el rango de $AB$ es dos tan ambos $A$ y $B$ debe tener rango $2$. Por lo tanto $BA-2I$ es la matriz cero.

Answer 3

Deje $C = (c_{ij}) = AB$, lo $c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}$, lo que significa que cada entrada de $c_{ij}$ puede ser interpretado como el producto escalar de la fila $i$ $A$ y la columna $j$$B$. Deje $a_{i:}$ $i$ésima fila de a $A$ $b_{:j}$ $j$- ésima columna de a $B$. Ahora vemos que

$$a_{1:} \perp b_{:2} \text{ and } a_{1:} \perp b_{:4}$$

$$a_{3:} \perp b_{:2} \text{ and } a_{3:} \perp b_{:4}$$

$$a_{2:} \perp b_{:1} \text{ and } a_{4:} \perp b_{:1}$$

$$a_{2:} \perp b_{:3} \text{ and } a_{4:} \perp b_{:3}$$

y, por tanto,$a_{1:} \perp b_{:2} \perp a_{3:}$, lo que implica $a_{1:} \Vert a_{3:}$ y de manera similar a $a_{2:} \Vert a_{4:}$$b_{:1} \Vert b_{:3}$$b_{:2} \Vert b_{:4}$.

Por lo que podemos conlcude $a_{1:} = c a_{3:}$ por algún factor $c$. Pero sabemos que $a_{1:} \cdot b_{:1} = 1$$ca_{1:} \cdot b_{:1} = a_{3:} \cdot b_{:1} = -1$$c=-1$.

De la misma forma podemos concluir que el$a_{2:} = -a_{4:}$$b_{:1} = - b_{:3}$$b_{:2} = - b_{:4}$. Para resumir lo que hemos conseguido hasta ahora:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ -a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & -a_{22} \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & -b_{11} & -b_{12} \\ b_{21} & b_{22} & -b_{21} & -b_{22} \end{bmatrix}$$

Consideremos ahora los bloques de $$\tilde A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \text{ y }\tilde B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} .$$

Tenga en cuenta que$A = \begin{bmatrix} \tilde A \\ - \tilde A \end{bmatrix}$$B = \begin{bmatrix} \tilde B & -\tilde B\end{bmatrix}$.

Ver inmediatamente a partir de la ecuación dada que $\tilde A \tilde B = I$$\tilde A = \tilde B^{-1}$.

Y, por tanto, $BA = \tilde B \tilde A + (-\tilde B)(-\tilde A) = 2I$ cual es el resultado deseado.

Answer 4

Teorema determinante de Sylvestor dice $$t^4+4t^3+4t^2=\det (t{I_4} + AB) = {t^2}\det (t{I_2} + BA) $$ As a polynomial identity, we see that $$\det (t{I_2} + BA) = {(t + 2)^2}$ $ así $BA$ es invertible

---

Por otro lado, cómputo directo da % $ $$(AB-2I)(AB) = 0 \implies A(BA-2I)B = 0$$BA$es invertible, $B$ tiene rango completo de la fila, por lo tanto, $A(BA-2I)=0$. Multiplicar el izquierdo da $B$ $$BA(BA-2I) = 0$ $ que implica $BA = 2I$.