¿Qué es el resto cuando se divide $p!$ $p+1$?

Question

Que $p$ sea un primo mayor que $7$. ¿Qué es el resto cuando se divide $p!$ $p+1$?

He intentado conectar el siguiente prime (11), que no ayuda con números tan grandes. Entonces intenté escribir $\frac{p!}{p+1} = p(p-1)(p-2).../(p+1)$. Dividiendo cada uno de los $p$, $(p-1)$ etcetera individualmente por $(p+1)$, siempre obtengo $(p+1)$ como un resto, y darán a multiplicar los restos juntos y dividir otra vez por $p+1$ $0$, que estoy seguro que no es correcto. ¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Sugerencia: Ambos $2$ y $(p+1)/2$ aparecen como factores en $p!$.

Answer 2

Recuerde eso si $p > 7$, entonces el $p! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times (p - 1) \times p$.

El factor principal más pequeño de $p + 1$ es menor que $\sqrt{p + 1}$ y $\lceil \sqrt{p + 1} \rceil < p$. El factor principal más grande de $p + 1$ en la mayoría es $\frac{p + 1}{2}$, que es también menos de $p$.

Esto significa que todos los factores primeros de $p + 1$ se incluyen entre los factores primeros de $p!$ y en mayor número. Por lo tanto $(p + 1) \mid p!$.

Dadas $p = 11$, por ejemplo, tenemos $p! = 39916800 = 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7 \times 11$. Por contraste, $p + 1 = 12 = 2^2 \times 3^{(1)}$, que $$\frac{39916800}{12} = 3326400 = 2^6 \times 3^3 \times 5^2 \times 7 \times 11.$ $

Answer 3

$p+1$ no será un número primo. Así $p+1=ab$ donde $2\le a\le b\le p$. Obviamente divide a $a$ $p!$ y $b$ divide $p!$. ¿Es obvio las divisiones de $ab$$p!$? ¿Es incluso cierto?