Convergencia de $\Gamma(p)$ para $0<p\leq 1$ y la divergencia para $p \leq0$ .

Question

Puede alguien mostrarme una prueba o algún recurso claro sobre la convergencia de la función gamma para valores de $p$ menos de cero.

Si es posible, necesito pruebas utilizando la integración por partes.

Mi problema para evaluar la convergencia es el siguiente.

$\displaystyle\int^\infty_0 e^{-x} \hspace{1 mm}x^p \ dx$ y $p<0$

¿Por qué esta integral no converge para $p \le -1$ pero convergen para $-1< p\le 0$

Una prueba usando series o integrales (como una integral más pequeña que otra integral convergente es convergente) sería apreciada.

Answer 1

El integrando es no negativo, y el problema es sólo en $0$ . Desde $\lim_{x\to 0^+}e^{-x}=1$ tenemos $3\cdot 2^{-1}\geq e^{-x}\geq 2^{—1}$ para $x\leq x_0$ y así $3\cdot 2^{-1}x^p\geq e^{-x}x^p\geq 2^{-1}x^p\geq 0$ . Ya que para $p\leq -1$ la integral $\int_0^1 x^pdx$ es divergente, entonces $\int_0^{+\infty}e^{-x}x^pdx$ es divergente y, si $p>-1$ la integral $\int_0^1 x^pdx$ es convergente y también lo es $\int_0^{+\infty}e^{-x}x^pdx$ .

Answer 2

Básicamente, dado $p\leq0$

$$\Gamma(p)=\int\limits_0^1 x^{p-1} e^{-x} dx+\int\limits_1^\infty x^{p-1} e^{-x} dx$$

No hay problemas de convergencia para $\displaystyle \int\limits_1^\infty x^{p-1} e^{-x} dx$ Sin embargo, para $0<a<1$

$$\int\limits_a^1 x^{p-1} e^{-x} dx\geq e^{-1}\int\limits_a^1 \frac {dx} x =-e^{-1} \log a$$

y el límite para $a \to 0^{-}$ no existe.